Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

intégrale de Lebesgue

Bonjour,

Je souhaite montrer que [tex]\int_{[0;+\infty[} \frac{1}{1+\sqrt{x}}d\lambda(x) =+\infty[/tex].

Pour cela, je dis que [tex]\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx\ge \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}dx=+\infty[/tex].
D'autre part, puisqu'il s'agit de l'intégrale impropre d'une fonction positive (sur un intervalle non borné), alors puisque [tex]f[/tex] n'est pas intégrable au sens de Riemann, elle ne l'est pas non plus au sens de Lebesgue.

Voilà, est-ce correct ?

Merci pour vos remarques !

Dernière modification par Vincent62 (04-12-2022 18:25:47)

Glozi

Invité

Re : intégrale de Lebesgue

Bonjour,

Je suis curieux de savoir comment tu obtiens $\int_0^\infty \frac{dx}{1+\sqrt{x}} \geq \int_0^\infty \frac{dx}{2\sqrt{x}}$ ? (j'aurais été facilement convaincu pour une intégrale de $1$ à $\infty$).
Ensuite soit $f\geq 0$, si j'ai bien compris ta question il suffit de comprendre pourquoi est-ce que l'intégrale de Riemann $\int_1^\infty f(x)dx = +\infty$ implique que l'intégrale de Lebesgue $\int_{[1,\infty[}f(x)dx = +\infty$.
Pour cela il faut se souvenir que l'intégrale de Riemann est définie de base pour des fonctions continues sur un segment. Il faut donc s'y ramener.

Par le théorème de convergence monotone alors $\int_{[1,\infty[}f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\int_{[1,n]}f(x)dx$. Par ailleurs $\int_{[1,n]}f(x)dx = \int_1^n f(x)dx$ (les intégrales de Lebesgue et de Riemann d'une fonction continue sur un segment coincident). Et on sait par définition de l'intégrale de Riemann généralisée à d'autres intervalles que des segments que $\int_1^\infty f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\int_1^nf(x)dx = \infty$ ce qui permet de conclure...
(il me semble me souvenir qu'on en avait déjà discuté ici :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15418)

.

Bonne journée

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : intégrale de Lebesgue

Bonjour Glozi, et merci.

On en avait discuté effectivement. Il fallait que je pratique. Je comprends maintenant la mécanique.
Si tu as un exemple sous le coude sur lequel je peux m'entraîner, je suis preneur :)

Glozi

Invité

Re : intégrale de Lebesgue

Bonjour,
Je ne sais pas exactement quel type d'exo tu veux, mais je me rends compte qu'il y en a un paquet sur ce site https://www.bibmath.net/ressources/inde … alyse.html (onglet intégration)
Bonne journée