Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Roulsoph

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Suite et convergence

Bonjour,
je suis en CUPGE Maths 2é année. On travaille sur les suites et convergences.
Il y a des exercices où je bloque.

Je vous donne un exemple. Si quelqu'un peut me donner un indice ou me mettre sur la voie, ce serait génial pour que je puisse avancer.

Voici par exemple la fonction f qui pour tout n dans R+ vers R associe à  x   
[tex] n^a.x.e^\frac{-n.x^2}{2} [/tex]

on nous demande de montrer que la suite de fonctions fn converge simplement vers la fonction nulle et si  la convergence est uniforme sur R+, à discuter suivant les valeurs de a, puis que pour tout h strictement positif, fn converge uniformément  sur $[h; +\infty[$ vers la fonction nulle.

Mon raisonnement m'a conduit à une convergence uniforme sur R+ si et seulement si a<1/2.
Est ce que je suis sur la bonne voie ? mai s je n'arrive pas à démontrer le reste des questions.

Un grand merci d'avance pour ceux qui m'aideront à décoincer sur cette question.

Bonne journée.

Dernière modification par yoshi (04-12-2022 08:44:00)

Glozi

Invité

Re : Suite et convergence

Bonjour,
On a donc $f_n(x) = n^a x e^{-nx^2/2}$
Pour voir s'il y a convergence uniforme on peut etudier les variations de $f_n$ pour trouver $M_n := \Vert f_n \Vert_\infty$ (norme infinie sur $[0,\infty[$)
on a $f_n$ croissante de $0$ à $1/\sqrt{n}$ puis decroissante. Elle atteint donc son maximum en $1/\sqrt{n}$ et on trouve $M_n= e^{-1/2}n^{a-1/2}$ ainsi je rejoins ta condition $a<1/2$ pour une cvu sur  $[0,\infty[$.

Ensuite pour la cvu sur $[h, \infty[$ alors calculons $M_n(h)$ le sup de $f_n$ sur ce nouvel intervalle. Pour $n$ assez grand alors $h> 1/\sqrt{n}$ et donc a partir dun certain rang $M_n(h) = f_n(h)$ (pourquoi ?)
Je te laisse conclure

Bonne journée

Roulsoph

Membre

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Messages : 5

Re : Suite et convergence

Bonjour,

Merci beaucoup pour cette réponse rapide !  C'est bien ce à quoi j'étais finalement arrivée.
Dans une des questions suivante, on me demande en considérant α = 1, de calculer explicitement la somme de la série de n = 1 à m puis d'expliciter S(x) pour x>=0.
J'ai tenté de le faire par encadrement seréie intégrale mais ce que je trouve me semble étrange... Ai-je utilisé la bonne méthode ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Zebulor

Membre expert

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Re : Suite et convergence

Bonjour,
je ne sais pas si Glozi est parti déjeuner... alors comme je suis de passage je me permets d'intervenir :
par encadrement je n'ai pas regardé mais l'idée qui me vient tout de suite en tête est d'écrire que $xe^{-nx^2/2}$ est à un facteur près la dérivée d'une fonction simple à trouver. Ensuite tu as une somme des dérivées qui vaut la dérivée de la somme, sachant qu'on a affaire à une somme finie de termes.

Dernière modification par Zebulor (04-12-2022 12:40:38)

Glozi

Invité

Re : Suite et convergence

Si j'ai bien compris on demande de calculer $S_m(x) := \sum_{n=1}^m nxe^{-nx^2/2}$ ? Si on demande une égalité (calculer la somme) alors ça ne sert à rien de faire une comparaison série intégrale car à la fin on va obtenir des inégalités. La je pense plutôt qu'il faut voir $S_m(x)$ comme la dérivée (par rapport à $x$) d'une certaine somme qui se calcule (chaque terme de la somme ressemble à une dérivée...)

Bonne journée