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Vincent62

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application continue sur un compact

Bonjour,

Je cherche à justifier que l'application [tex]f : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, (x,y)\to \sqrt{x^2+y^2}[/tex] est intégrable sur tout compact [tex]K[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] par rapport à la mesure [tex]\lambda_{\mathbb{R}^2}[/tex].

Pour cela, je remarque que montre que l'application [tex]f[/tex] est continue en tout point de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], et donc en particulier sur [tex]K[/tex].
L'application [tex]f[/tex] est donc bornée sur [tex]K[/tex] et y atteint ses bornes.
On est donc amené à considérer l'intégrale de Lebesgue d'une application bornée. Bon, est-ce que cela suffit à montrer que f est intégrable au sens de Lebesgue sur [tex]K[/tex] ?

Merci pour vos remarques !

Dernière modification par Vincent62 (04-12-2022 11:05:08)

Glozi

Invité

Re : application continue sur un compact

Bonjour,
Oui ça suffit mais tu n'as pas l'air sûr de toi, il faut donc se convaincre que ça marche (avec une preuve).

$f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ est continue donc mesurable (cette implication est vraie car tu consideres des tribus borelienne).
Pour montrer $f$ integrable sur $K$, il faut montrer que $\int_K |f| \lambda(dx) < \infty$.

Tu dis que $f$ est bornée sur $K$ donc ca suffit, il faudrait expliquer que c'est vrai ici car $\lambda(K)<\infty$ (pourquoi est ce vrai ?)

En effet si $|f|\leq M$ sur $K$ on obtient bien :
$\int_K |f| \lambda(dx) \leq M\lambda(K)< \infty$.

Est-ce que toutes les étapes sont claires ?

Bonne journée

Vincent62

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Re : application continue sur un compact

Bonjour Glozi,

Plus que claires, merci !