Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bonhomme

Invité

Sous anneau commutatif

Bonjour,

En en consultant le corrigé d'un exercice où il faut montrer que Q[racine(d)] est un corps de R, je vois qu'il est montré de façon très clair que  Q[racine(d)] est un sous anneau de R. Mais je ne vois rien qui montre que Q[racine(d)] est un sous anneau commutatif. Si il n'y a rien de précisé, est-ce que cela vient du fait que l'anneau (R,+,x) est commutatif et que son sous-anneau Q[racine(d)] hérite de cette commutativité ?

Merci.

Eust_4che

Membre

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Messages : 185

Re : Sous anneau commutatif

Bonjour,

Un corps peut ne pas être commutatif. Il n'y a donc pas de problème, en toute généralité, à ne pas préciser que l'extension est commutative. Si $Q$ désigne les nombres rationnels, le fait qu'une extension quadratique $\mathbb{Q}[\sqrt{q}]$ soit commutative vient du fait que $\mathbb{Q}$ est un corps commutatif. Après, si on dispose d'une injection $j$ d'un anneau $A$ dans un anneau $B$ telle que $Im j$ soit un sous-anneau commutatif, on a effectivement la commutativité de $A$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (30-11-2022 14:08:44)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Sous anneau commutatif

Hello,

  Dans les programmes de classe prépa (en France), la commutativité fait partie de la définition d'un corps.

F.

Douze

Membre

Inscription : 23-11-2018

Messages : 3

Re : Sous anneau commutatif

Bonjour Eust_4che,

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.
En effet Q designe bien les nombre rationnels. Merci pour l'information que Q[racine(Q)] commutatif vient du corps commutatif Q
mais dans l'exercice on ne présente pas les choses de cette façon. Ce que je n'avais pas précisé, c'est que racine(q) n'appartient pas à Q et Q[racine(d)] = {a + b.racine(q); (a,b) élément de Q^2}. Dans l'exercice on demande de montrer que Q[racine(d)] est un corps pour les lois induites par celles de R(réel). Comme la définition d'un corps (d'après le cours) est d'être un anneau commutatif non réduit à {0} et d'avoir tous ses éléments non nul inversibles. Le premier point est de montrer que Q[racine(d)] est un anneau commutatif. Dans la correction, il est bien montré que Q[racine(d)] est un anneau, mais je ne vois rien qui justifie qu'il est commutatif. Donc manifestement quelque chose m'échappe... C'est pour ça que dans mon premier message, je suggérais que peut-être comme R est un corps (donc un anneau commutatif) son sous anneau Q[racine(d)] héritait de sa commutativité...

Merci. Bonne soirée

Douze

Membre

Inscription : 23-11-2018

Messages : 3

Re : Sous anneau commutatif

Bonsoir Fred,
Je tapais, mon second message pendant que vous laissiez le votre. C'est effectivement ce que je disais.

Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Sous anneau commutatif

Re-

  Un sous-anneau d'un anneau commutatif est effectivement commutatif, ce qui est sans doute la justification la plus simple dans ton cas.

F.

Douze

Membre

Inscription : 23-11-2018

Messages : 3

Re : Sous anneau commutatif

Merci Fred,

Bonne soirée

gond yac

Membre

Inscription : 03-12-2022

Messages : 1

Re : Sous anneau commutatif

Bonsoir.

Je demande souhaiterais disposer des supports de cours sur la dualité en dimension finie et celle de la réduction des endomorphisme en dimension finie.

Merci

Dernière modification par yoshi (03-12-2022 14:05:08)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 402

Re : Sous anneau commutatif

Bonjour,

@gond yac
Bonjour,
Ta demande est-elle une réponse à la question posée par bonhomme et/ou Douze ?
Réponse  : non !
Alors pourquoi avoir
- soit cliqué sur Répondre ?
- soit écrit directement dans le cadre Réponse rapide ?
Ce faisant ta demande introduit un bruit de fond malvenu dans ce fil de discussion.
C'est sur ce lien :  Nouvelle discussion que tu aurais dû cliquer...
Pas vu ?
Pourtant la table des sujets traités du présent sous-forum, qui recense les de tous les titres, comporte 207 pages.
Et sur chacune de ces pages figure en haut et en bas à droite le lien Nouvelle discussion : il est donc présent 414 fois !!!
En cliquant sur le lien donné, tu ouvrais une nouvelle discussion (la tienne, donc !), tu choisissais un titre et tu copiais/collais ta demande...

Je ne peux pas me permettre de fermer la discussion en cours sans courir le risque de pénaliser son auteur...
Donc, je ne peux que veiller à ce que tu n'aies pas de réponse ici, sauf lorsque tu auras ouvert ta propre discussion et dans ta propre discussion il sera pareillement veillé à ce que personne n'y fasse de demandes hors-sujet...
Ce n'est pas pour te contrarier, c'est juste pour que soit respectée la règle d'or de tout forum digne de ce nom: un sujet = une discussion, sans quoi au bout d'une semaine, ce serait la pagaille !
Donc, ne perd pas de temps, pour que que tu puisses copier (puis coller) ton texte, ton message restera présent 24 h après quoi, je le supprimerai et le mien avec.

Merci de ta compréhension.

      Yoshi
- Modérateur -