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Jimmy5125166

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Extension du corps des Rationels

Bonjour, j'aimerai montrer que : [tex]Q(\sqrt[5]{2}) = Q(\sqrt[5]{4}) [/tex], quelqu'un à-t-il une idée ?

Glozi

Invité

Re : Extension du corps des Rationels

Bonjour,
Ma parole ! Tu es la 3eme personne qui evoque ce sujet récemment !
tu peux regarder :
https://bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15585
Bonne journée

Jimmy5125166

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Re : Extension du corps des Rationels

Justement, je déjà regardé ce forum, dont votre réponse, mais je ne vois pas comment montré que : [tex]\sqrt[5]{4}\in Q(\sqrt[5]{2})[/tex] et inversemment, mais contrairement à la personne qui à posté ce sujet, je ne vois pas comment faire...

Glozi

Invité

Re : Extension du corps des Rationels

Bonjour,
$\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ est un corps donc est stable par produit (le fait que c'est un anneau suffit ici). Trouver deux éléments $x,y$ de $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ tels que $xy=\sqrt[5]{4}$.

▼indice

Indice : peut être même que $x=y$

Jimmy5125166

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Re : Extension du corps des Rationels

....[tex]\sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{2} \sqrt[5]{2}[/tex]

Glozi

Invité

Re : Extension du corps des Rationels

En effet, du coup $\sqrt[5]{4}\in \mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ en tant que produit de deux éléments de ce corps.

Jimmy5125166

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Re : Extension du corps des Rationels

je réfléchis pour l'autre....
mais je ne vois absolument pas en quoi cela est suffisant pour dire qu'on à l'égalité des ensembles...

Glozi

Invité

Re : Extension du corps des Rationels

Pense au un sous corps de $\mathbb{R}$ contenant $\mathbb{Q}$ et $\sqrt[5]{4}$, le plus petit possible, il existe car il s'agit de l'intersection de tous les sous corps de $\mathbb{R}$ contenant $\mathbb{Q}$ et $\sqrt[5]{4}$ (pourquoi est-ce vrai ?) et c'est précisément $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ (pourquoi est-ce vrai bis ?) Maintenant $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ est un sous corps de $\mathbb{R}$ qui contient $\sqrt[5]{4}$ et $\mathbb{Q}$, donc il contient $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ (est-ce clair pourquoi ?)

Jimmy5125166

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Re : Extension du corps des Rationels

Je vois pas vraiment pourquoi c'est précisément Q(5√4) même si ça me parait cohérent...

De même pourriez vous m'indiquer comment montrer que (5√2) appartient à Q(5√4) ?

Glozi

Invité

Re : Extension du corps des Rationels

Q1) Quelle est ta définition de $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ ?
Q2) Es tu d'accord qu'il s'agit d'un sous corps de $\mathbb{R}$ qui contient $\mathbb{Q}$ et $\sqrt[5]{4}$ ?
Notons pour la suite $x=\sqrt[5]{4}$.
Pour moi tu peux voir $\mathbb{Q}(x)$ comme le $\mathbb{Q}$ espace vectoriel $E$ engendré par $(1,x,x^2,x^3,x^4)$. On se rend compte que dans ce $\mathbb{Q}$ espace vectoriel, on peut multiplier deux vecteurs (avec la multiplication usuelle de $\mathbb{R}$) et qu'on retombe sur un vecteur de cet espace vectoriel $E$. On vérifie également que si on a un élément non nul de cet espace vectoriel alors son inverse (a priori dans $\mathbb{R}$) est en fait un élément de cet espace vectoriel $E$. Finalement $E$ est certes un espace vectoriel mais aussi un sous corps de $\mathbb{R}$. Pour moi c'est ça $\mathbb{Q}(x)$.

Maintenant soit $K$ un sous corps de $\mathbb{R}$ qui contient $x$ et $\mathbb{Q}$. Alors
1) $K$ peut être vu comme un $\mathbb{Q}$ espace vectoriel (juste car c'est un corps contenant $\mathbb{Q}$) Q3) c'est ok ?
2) $K$ contient $1$ et surtout $K$ contient $x$ mais $K$ est un corps donc $K$ contient $x,x^2,x^3,x^4$. Ainsi $K$ contient le $\mathbb{Q}$ espace vectoriel $E$ engendré par $1,x,x^2,x^3,x^4$ donc contient $\mathbb{Q}(x)$.

De là $\mathbb{Q}(x)$ coïncide bien avec le plus petit sous corps de $\mathbb{R}$ contenant $x$ et $\mathbb{Q}$.

NB : le fait de voir $\mathbb{Q}(x)$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ est très pratique. Ici il s'agit d'un espace vectoriel de dimension $5$. Mais par exemple si $x=\pi$ (transcendant) alors $\mathbb{Q}(\pi)$ est le $\mathbb{Q}$ espace vectoriel engendré par la famille $(\pi^n)_{n\in \mathbb{Z}}$ (on vérifie qu'il y a bien une structure de corps sur cet espace vectoriel) et le même genre d'argument fonctionne ensuite pour montrer que c'est le plus petit sous corps de $\mathbb{R}$ contenant $\mathbb{Q}$ et $\pi$.

Je te laisse réfléchir à tout ça à tête reposée, je te laisse également montrer que $\sqrt[5]{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ ce n'est vraiment pas très dur.
Je te conseille aussi de relire ton cours qui ne m'a pas l'air très clair pour le moment.

Bonne nuit