Forum de mathématiques - Bibm@th.net

haf0

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Calcule un déterminant à partir d'une relation de récurrence d'ordre 2

Bonjour à toutes et à tous, je vous espère une bonne journée,

  J'ai rencontrer un problème quand j'ai travaillé un exercice sur les déterminants, Il m'a pris beaucoup de temps mais j 'ai pas pu figurer comment s'en sortir, et j'aimerai bien si qqun m'aide à le résoudre, voilà l'exercice :
 
" Chercher une relation de récurrence linéaire d'ordre 2, et calculer les déterminants suivants  :
  ...

  D_n =
\begin{array}\\
a&b&b&...&b&b\\
b&a&0&...&0&b\\
:&0&a&0&...&b\\
:& & && & :\\
b&0&...&0&a&b\\
b&b&...&b&b&a\\
\end{array}

* désolé pour la rédaction, je ne suis très familier avec Latex, j'espère que c'est compréhensible.

Ginger40

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Re : Calcule un déterminant à partir d'une relation de récurrence d'ordre 2

Bonjour,

Personnellement je ne vois pas trop comment faire sortir une relation de récurrence vu la tête de la matrice.
Par contre, si jamais ça t'intéresse je peux te proposer une solution par calcul utilisant les propriétés du déterminant, qui donne un résultat à priori juste (j'ai vérifié pour quelques valeurs de $a$ et $b$ et ça semble marcher).

Déjà tu peux facilement faire les cas $n=1,2,3$ et tu obtiens :
$$
D_1 = a, \quad D_2 = a^2-b^2,\quad D_3 = a^3+2b^3 - 3ab^2
$$
Maintenant on suppose $n\geq4$. On peut constater que si $a=b$ alors le déterminant est nul car la première et la dernière colonne sont identiques (il faudra à priori trouver un facteur $(a-b)$ dans notre formule). Aussi, on se débarrasse du cas $a=0$ en remarquant qu'avec $n\geq4$ on a toutes les colonnes du milieu identiques (égales à $\left(\begin{array}\\b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ b \\ \end{array}\right)$), donc on enlève ce cas aussi. Maintenant on calcule :
$$
\left|
\begin{array}\\
a & b & \dots & \dots & b & b \\
b & a & 0 & \dots & 0 & b \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots &  0& b\\
b & 0 &\dots & 0 &a &b\\
b & b & \dots & b & b & a\\
\end{array}
\right|
\underset{C_1 \leftarrow C_1-C_n}{\rightarrow}
\left|
\begin{array}\\
a-b & b & \dots & \dots & b & b \\
0 & a & 0 & \dots & 0 & b \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots &  0& b\\
0 & 0 &\dots & 0 &a &b\\
b-a & b & \dots & b & b & a\\
\end{array}
\right|
\underset{L_n \leftarrow L_n+L_1}{\rightarrow}
\left|
\begin{array}\\
a-b & b & \dots & \dots & b & b \\
0 & a & 0 & \dots & 0 & b \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots &  0& b\\
0 & 0 &\dots & 0 &a &b\\
0 & 2b & \dots & 2b & 2b & a+b\\
\end{array}
\right|
$$
$$
= \frac{1}{a}
\left|
\begin{array}\\
a-b & b & \dots & \dots & b & b \\
0 & a & 0 & \dots & 0 & b \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots &  0& b\\
0 & 0 &\dots & 0 &a &b\\
0 & 2ab & \dots & 2ab & 2ab & (a+b)a\\
\end{array}
\right|
\underset{L_n \leftarrow L_n - 2bL_i \quad\forall i\in\{2;\dots;n-1\}}{\rightarrow}
\frac{1}{a}\left|
\begin{array}\\
a-b & b & \dots & \dots & b & b \\
0 & a & 0 & \dots & 0 & b \\
\vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots &  0& b\\
0 & 0 &\dots & 0 &a &b\\
0 & 0 & \dots & 0 & 0 & (a+b)a-2(n-2)b^2\\
\end{array}
\right|
$$
$$
=\frac{1}{a}(a-b)a^{n-2}\left[(a+b)a-2(n-2)b^2\right] = (a-b)a^{n-3}\left[(a+b)a-2(n-2)b^2\right]
$$
Et on est contents car on retombe bien sur les mêmes formules pour $n=1,2,3$.

[EDIT: Merci Zebulor pour la remarque, c'est modifié !]
[EDIT2: Encore merci Zebulor, j'ai mal fait varier mon $i$ quand j'ai écrit mon message : $i$ commence à $2$ et pas à $1$]

Dernière modification par Ginger40 (28-11-2022 15:08:07)

haf0

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Re : Calcule un déterminant à partir d'une relation de récurrence d'ordre 2

Bonjour,

Merci Ginger40 pour votre réponse, les idées que vous avez utilisé sont très utile.