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MrF

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Besoin d’aide sur quelques démonstration

Bonjour ou bonsoir à vous
  Il nous as été en salle demandé de démontrer :
  Soit M un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel E
(Excusez déjà je sais pas insérez des symboles )
On demande de prouver que :
- l’orthogonale de M+M =E
-l’orthogonale  de l’orthogonal de M= M
-l’orthogonale de M1+M2= l’orthogonale de M1 inter l’orthogonale de M2 ( M1 et M2 deux ensemble de E)
-l’orthogonale de M1 inter M2 = orthogonale de M1 + orthogonale de M2
- l’orthogonale de M est un sous espace vectoriel de E

Glozi

Invité

Re : Besoin d’aide sur quelques démonstration

Bonjour,
Je pense que ton espace vectoriel $E$ n'est pas n'importe quel espace vectoriel. Vu les questions je pense qu'il s'agit d'un espace vectoriel euclidien (espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\left<\cdot,\cdot\right>$).
Ensuite si $M$ est un sous espace vectoriel de $E$, alors par définition l'orthogonal de $M$ est $M^\perp= \{x\in E, \forall m\in M\text{ , } \left<x,m\right>=0\}$.
Peux-tu nous dire où tu en es, ce que tu as fait et là où tu bloques ?
(au passage je commencerais par montrer que $M^\perp$ est un sous espace vectoriel de $E$, avant de traiter les autres questions...)
Bonne journée

MrF

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Re : Besoin d’aide sur quelques démonstration

Bonjour à vous
Effectivement mon espace vectoriel E est euclidien
Déjà j’ai pas réussi à faire grand puisque ce sont des démonstrations de propositions qu’on demande de démontrer
Bon pour la proposition 3 celle qui dis pour deux s.e.v de E M1 et M2 on a : (M1+M2)⊥ = M1⊥interM2⊥
J’ai essayé de penser comme suit :
Soit les vecteurs u1€M1 et u2€M2
(M1+M2)⊥= ( v€E / (u1+u2).v=0)
         On a : (u1+u2).v=0
                  -> u1.v +u2.v =0
                  -> u1.v = -U2.v
                  -> u1.v.v= -U2.v.v
                  -> u1 = -u2
                  -> u1+u2= 0(vecteur nul) Ainsi on peut dire que l’ensemble qui vérifie cette relation est la l’ensemble résultant de M1⊥inter M2⊥ D’où la relation non ça c’est ma pensée pour cette proposition je sais pas si elle est bonne . Et pour le reste j’ai pas trouver grand chose

Glozi

Invité

Re : Besoin d’aide sur quelques démonstration

Bonjour,
Ta preuve ne fonctionne pas très bien, il a des problèmes à plusieurs endroits :
Déjà tu écris $(M_1+M_2)^\perp = \{v\in E | (u_1+u_2,v)=0\}$ cela est faux, en effet pour que $v$ soit dans $(M_1+M_2)^\perp$ il ne suffit pas que $(u_1+u_2,v)=0$ pour un choix particulier de $u_1$ et $u_2$ dans $M_1$ et $M_2$, il faut que cela soit vérifié pour tous les choix de $u_1,u_2\in M_1,M_2$.
Ensuite je te conseille de garder des parenthèses ou des crochets autour de tes produits scalaire (oui ce qu'on fait au lycée a ses limites), cela t'évitera d'écrire quelque chose comme $(u_1,v)v = u_1(v,v)$ qui est faux en général. (prendre $v=(1,0)$ et $u_1=(0,1)$ dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire usuel).
Ensuite je n'ai pas du tout compris ce que tu as dis à la fin pour conclure, ça ressemble à de "l'arnaque"...

Je te pose quelques questions pour savoir où tu en es :
Je suppose que tu suis un cours portant sur ce sujet (niveau L1) (je trouve surprenant qu'aucune de ces preuves n'ait été faite...) ? Est-ce que tu as vu la notion de famille (et de base) de vecteurs orthogonaux / orthonormés (ça serait utile pour tes deux premières propriétés) ? Est-ce que tu as vu des exemples d'espaces euclidiens du genre $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire usuel ? Est-ce que tu visualises ce qu'est l'orthogonal d'un espace vectoriel (en dimension 2 ou 3) ?

Pour t'aider je rédige le fait que $M^\perp$ est un sous espace vectoriel de $E$ à partir de sa définition.
Déjà $0_E\in M^\perp$, en effet pour tout $m\in M$, alors $(0_E,m)=0$ par linéarité à gauche du produit scalaire.
Ensuite si $u,v\in M^\perp$, et $\lambda,\mu\in \mathbb{R}$ montrons que $\lambda u+\mu v\in M^\perp$, en effet si $m\in M$, nous avons par linéarité à gauche du produit scalaire : $(\lambda u + _mu v,m) = \lambda(u,m)+\mu(v,m)$. Or $u$ et $v$ sont dans $M^\perp$ et $m\in M$ donc $(u,m)=(v,m)=0$. Ainsi $(\lambda u + \mu v,m)=0$. Cela vaut pour tout $m\in M$, on en déduit que $\lambda u +\mu v\in M^\perp$.
Cela suffit à dire que $M^\perp$ est un sous espace vectoriel de $E$.

Pour la troisième proposition sur laquelle tu as réfléchi, je te propose de le faire par double inclusion.
Montrons que $(M_1+M_2)^\perp \subset M_1^\perp \cap M_2^\perp$.
Soit $x\in (M_1+M_2)^\perp$, le but est de montrer que $x\in M_1^\perp \cap M_2^\perp$.
Par hypothèse pour tout $(m_1,m_2)\in M_1\times M_2$, alors $(x,m_1+m_2)=0$.
Or $M_2$ est un espace vectoriel donc $0_E\in M_2$, en particulier on trouve que pour tout $m_1\in M_1$, alors $(x,m_1+0_E)=0$ et donc pour tout $m_1\in M_1$, $(x,m_1)=0$. On en déduit que $x\in M_1^\perp$.
On montre de même que $x\in M_2^\perp$.
Finalement, $x\in M_1^\perp$ et $x\in M_2^\perp$ donc $x\in M_1^\perp\cap M_2^\perp$
Je te laisse rédiger l'autre inclusion.

Bonne journée

MrF

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Re : Besoin d’aide sur quelques démonstration

Bonjour à vous
Si je peux me permettre de répondre à vos questions
En effet je suis en niveau 1 et nous avons bien évidemment vue la notion de base ainsi que des espaces vectoriels muni d’un produit scalaire mais en revanche je visualise pas bien l’orthogonale d’un espace vectoriel en dim 2 et 3
Déjà merci pour la démonstration  faites je vais de fait me servir de cela pour avancer et en cas de difficulté je vous recontacte . Bonne journée à vous