Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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matrice et norme

Bonjour,

Je souhaite montrer que l'application qui a une matrice [tex]M[/tex] de [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex] associe sa matrice carrée est différentiable, en utilisant la définition de la différentielle.

Pas de souci. Sauf que patauge mon démontrer que [tex]\|H^2\|=o(\|H\|)[/tex], autrement dit que [tex]\lim_{\|H\|\to 0} \frac{\|H^2\|}{\|H\|}=0[/tex].

Se pose déjà la question de la norme. Puisque 'lon est en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

En fait, il faudrait que j'obtienne que [tex]\|H^2\|\le \|H\| \|H\|[/tex]. Ceci est vraie pour la norme subordonnée à une application linéaire, ici je prends la norme d'une matrice...
Y a-t-il une autre norme plus simple à utiliser ?

Merci !

Dernière modification par Vincent62 (27-11-2022 12:15:29)

Eust_4che

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Re : matrice et norme

Bonjour,

La matrice carrée de $M$ est la matrice $M^2$ ? Dans ce cas, pourquoi ne pas tout simplement prendre la norme $\|X \|_{\phi} = \| \phi(X) \|$, où $\phi(X)$ est l'application linéaire correspondante à la matrice $X$ relativement à n'importe quelle base de n'importe quel espace de dimension $n$, et $\| . \|$ la norme subordonnée de $\Phi(X)$ ?

E.

Fred

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Re : matrice et norme

Bonjour

  Tu as déjà donné tous les ingrédients ! Tu peux choisir effectivement n'importe quelle norme. Et une matrice définit canoniquement une application linéaire. Alors pourquoi ne pas choisir la norme subordonnée associée ?

F.

Ginger40

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Re : matrice et norme

Bonjour,

En soit on peut prendre la norme $\sup\frac{\|AX\|}{\|X\|}$ où $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\backslash \{0_{n,1}\}$, mais en fait on tourne en rond car cela correspond à la norme subordonnée de l'application linéaire associée à $A$ [EDIT: comme déjà dit plus haut en fait].
Sinon, il y a le choix de la norme de Frobenius :
$$
\|A\|_F = Tr(AA^T)^{1/2} = (\sum_{i,j}a_{i,j}^2)^{1/2}
$$
On peut montrer qu'elle sous-multiplicative (c'est la propriété $\|AB\|\le \|A\| \|B\|$) en écrivant la somme et en utilisant Cauchy-Schwartz au bon moment (elle a aussi le bon goût d'être associée au produit scalaire $Tr(AB^T)$)

Dernière modification par Ginger40 (27-11-2022 12:53:58)

Vincent62

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Re : matrice et norme

Merci à vous tous, c'est très clair !