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maths48

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Extensions de corps polynôme irréductible

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LKzq7p3gX5F

Voici ce que j'ai fait pour les deux premières questions, qu'en pensez-vous ?
https://www.cjoint.com/c/LKzq3fUEu7F

Ce qui me bloque sur la question 3 est le "en déduire".

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Extensions de corps polynôme irréductible

Bonjour,
je suis assez d'accord pour la question 1, $P_5(X)=X^5-2$ est irréductible par le critère d'Eseinstein, et donc il s'agit bien du polynôme minimal de $\sqrt[5]{2}$. De là, $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ est bien un corps isomorphe à $\mathbb{Q}[X]/<P_5(X)>$ qui est bien une extension de degré $5$ de $\mathbb{Q}$ (car $P_5$ est irréductible, unitaire, et de degré $5$).
Pour la question 2, comment est-ce que tu vois que $[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4}),\mathbb{Q}]=5$ ? Et puis, même si deux extensions ont le même degré, elles ne sont pas forcément égales, il te faudrait en plus une inclusion si tu avais déjà l'égalité des dimensions. Je pense que c'est pas la bonne stratégie surtout quand on voit la question d'après... Essaye plutôt de montrer que $\sqrt[5]{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ et que $\sqrt[5]{4}\in \mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ (pourquoi est-ce vrai et pourquoi cela suffit ?)
Pour la question 3, supposons par l'absurde que $X^5-4$ n'est pas irréductible, que dire alors du polynôme minimal $P(X)$ de $\sqrt[5]{4}$ ? Et que dire de $\mathbb{Q}[X]/<P(X)>$ ?
Bonne soirée

maths48

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Re : Extensions de corps polynôme irréductible

Bonjour,

Merci de votre réponse.

Pour la question 2, je ne sais pas dire pourquoi cela suffit ? Pour moi, c'est juste comme ça qu'on démontre une double-inclusion et donc une  égalité entre deux ensembles...
Sinon j'ai réussi à montrer

$\sqrt[5]{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$ et que $\sqrt[5]{4}\in \mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$

.

Pour la question 3, voici ce que j'ai fait :
https://www.cjoint.com/c/LKBkxFVejDF

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Extensions de corps polynôme irréductible

Bonjour,
Pour la Q2), oui tu obtiens une égalité ensembliste entre $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2})$ et $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{4})$. Si tu veux ce sont deux sous corps de $\mathbb{R}$ (et aussi sous ensembles de $\mathbb{R}$), car on voit $\sqrt[5]{2}$ et $\sqrt[5]{4}$ comme des réels. Ces deux corps sont égaux car ils ont le même ensemble sous-jacent. C'est beaucoup plus fort que de dire qu'on a un isomorphisme entre les deux corps, là il s'agit vraiment du même objet (un réel $x$ est dans l'un si et seulement si il est dans l'autre), du coup un isomorphisme trivial entre les deux est l'identité... Je ne sais pas si ça peut t'éclairer, mais tu peux te demander si les deux ne seraient pas égaux aussi à $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{2}, \sqrt[5]{4})$.

Pour la question Q3) je pense que tu as compris,
Bonne journée