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Roro1

Invité

Approximation des fonctions

Bonjour.

Soit $F \subset \mathbb{R}$ un ensemble fini. Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^1$ sur $\mathbb{R},$ de classe $C^2$ sur $\mathbb{R} \setminus F$ et tel que $\sup_{x \in \mathbb{R} \setminus F}|f''(x)|<\infty.$

Prouver qu'il existe une suite de fonctions $(f_n)_n$ de classe $C^2$ tel que $\lim_{n \to \infty}\sup_{x \in \mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=0,\lim_{n \to \infty}\sup_{x \in \mathbb{R}}|f'_n(x)-f'(x)|=0,\sup_{(n,x) \in \mathbb{N} \times (\mathbb{R}\setminus F)}|f''_n(x)|<\infty$ et pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus F,\lim_{n \to \infty}f''_n(x)=f''(x).$

Si on considère $\xi(x)=e^{\frac{1}{x^2-1}}$ si $|x|<1$ et $\xi(x)=0$ sinon, et $\xi_n(x)=n\xi(nx)$ alors $\xi_n*f$ et de classe $C^{\infty}_c$ et on a convergence uniforme vers $f$ sur tout compact.

Comment avoir la convergence uniforme sur tout $\mathbb{R}$ ?

Si $f$ était à support compact alors, dans ce cas on aura la convergence uniforme partout. J'ai essayé trouver une fonction $\psi$ de classe $C^{\infty}_c$ tel que $f=\psi f+f(1-\psi)$ et $f(1-\psi)$ est $C^2,$ en d'autre termes, pouvez-vous trouver $\psi$ de classe $C^{\infty}_c,$ et $f(1-\psi)$ soit de classe $C^2$?

Merci d'avance!

Glozi

Invité

Re : Approximation des fonctions

Bonjour,
Puisque $F$ est fini alors en particulier, $F$ est borné. On suppose $F\subset [-a/2,a/2]$, ne suffit-il pas alors de prendre pour $\psi$ une fonction $\mathcal{C}^\infty$ qui vaut $1$ sur $[-a,a]$ et vaut $0$ sur $\mathbb{R}\setminus[-a-1,a+1]$ ? (la construction de $\psi$ ressemble à celle de ton $\xi$, fonction dite "plateau")
Bonne journée

Roro1

Invité

Re : Approximation des fonctions

Merci pour la suggestion de la fonction plateau.

Comment verifier que $f(1-\psi)$ est de classe $C^2,$ ? Puisque f est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R} \setminus F$ (pas partout)

Glozi

Invité

Re : Approximation des fonctions

Rappel : $F\subset [-a/2,a/2]$.
Sur $]-a,a[$, alors $f(1-\psi)=0$ est bien $\mathcal{C}^2$.
Sur $\mathbb{R}\setminus[-a/2,a/2]$, alors $f$ est $\mathcal{C}^2$ (car $F\subset [-a/2,a/2]$) et donc $f(1-\psi)$ est également $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}\setminus [-a/2,a/2]$.
Bilan : $f(1-\psi)$ est $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.