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math1

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equation différentielle

Bonjour,  Ayant un manque d'expertise concernant les équations différentielles je bloque sur deux exercices :
1) résoudre l'équation suivante : [tex]y^{(3)}-y''+y'-y = 3t^{2} [/tex]
Concernant la solution homogène, il n'y a pas tellement de difficulté en prenant son équation caractéristique, soit [tex]S_{h}[/tex] la solution homogène, [tex]S_{h}(t) = Ae^{t}+ Be^{it}+Ce^{-it}[/tex]
Concernant la solution particulière je pensais réaliser comme méthode la variation de la constante, i.e [tex]S_{p}(t) =t^{2}[/tex] ce qui équivaut à [tex]A(t)e^{t}+ B(t)e^{it}+C(t)e^{-it}  =3t^{2}  [/tex] mais ce n'est pas concluant et je ne vois pas d'autre méthode particulière auriez vous une indication ?

2) [tex]A= \begin{pmatrix} -8 & 0 &8 \\ 16 & -1 & 17 \\ 16 & -9 & 9 \end{pmatrix}[/tex] l'objectif est de résoudre le problème de Cauchy suivant :
y'(t) = Ay(t)
y(1)= [tex]\begin{pmatrix}3 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}[/tex]
Cependant lorsqu'on essaye de calculer les valeurs propres  de A, on observe vite que ce n'est pas la bonne méthode... Auriez-vous une idée ou une indication ?

Cordialement

Zebulor

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Re : equation différentielle

Bonjour,
ça fait un bail que je n'ai pas fait d'équations différentielles mais une chose m'étonne : l'équation caractéristique ne concerne t elle pas plutôt les équa diff du second ordre ?
Je me demande aussi sur quel ensemble on te demande de la résoudre.
Sans avoir regardé de près je vois que ton équation équivaut à [tex](y'-y)''+(y'-y)=3t^{2} [/tex]. De là on peut introduire la fonction auxiliaire $z(t)=y'(t)-y(t)$. Si bien que ton équation de départ équivaut à $z''(t)+z(t)=3t^2$ etc...

Dernière modification par Zebulor (20-11-2022 15:28:17)

Black Jack

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Re : equation différentielle

Bonjour,

Pour la 1, j'aurais fait ceci :

r³ - r² + r - 1 = 0

r1 = 1
r2 = -i
r3 = i

Solutions de l'équation avec second membre = 0 : y = A.e^t + B.sin(t) + C.cos(t)
*****
y''' - y'' + y' - y = 3t²

Sol particulière : y = a.t² + bt + c
y' = 2at + b
y'' = 2a
y''' = 0

y''' - y'' + y' - y = -2a + 2at + b - at² - bt - c

-at² + (2a-b)t -2a + b - c = 3t²

D'où le système :

a = -3
2a-b = 0
-2a+b-c = 0

a = -3 ; b = -6 ; c = 0

Sol particulière : y = -3t² - 6t
****
Solutions générales :

y = A.e^t + B.sin(t) + C.cos(t) - 3t² - 6t

Dernière modification par Black Jack (20-11-2022 16:09:00)

math1

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Re : equation différentielle

Merci beaucoup Black Jack c'est très clair, merci Zebulor pour la méthode.

Zebulor

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Re : equation différentielle

Bonjour,
je reviens sur ce sujet et serais curieux de savoir comment on résout la question 2)..
A part constater que la matrice A présente une valeur propre réelle et deux v.p complexes conjugués..

Fred

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Re : equation différentielle

Salut Zebulor,

  L'exercice 3 de cette page traite justement ce cas.

F.

Zebulor

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Re : equation différentielle

Salut Fred,

merci !