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Mifdal Amine

Invité

Stabilité par somme d'un espace vectoriel

Bonjour,

Je me demande, si on sait qu'une somme de deux vecteurs A et B appartiennent à un espace vectoriel, peut on affirmer que les vecteurs A et B eux mêmes appartiennent à cet Espace vectoriel?

Je ne sais pas si on peut voir la stabilité par addition dans ce sens.

J'aimerais affirmer cela pour démonter le résultat de la question 13.

[img=raisonnement]file:///C:/Users/El%C3%A8ve/Downloads/raiso.jpg[/img]

[img=sujet]C:/Users/Elève/Downloads/sujeyt.jpg[/img]

Mifdal Amine

Invité

Re : Stabilité par somme d'un espace vectoriel

désolé je n'avais pas réussi à afficher les images, je réessaye ici

[img=sujet]file:///C:/Users/El%C3%A8ve/Downloads/sujeyt.jpg[/img]

[img=raisonnement]file:///C:/Users/El%C3%A8ve/Downloads/raiso.jpg[/img]

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : Stabilité par somme d'un espace vectoriel

Bonjour,

Sais tu que ces adresses pointent sur ton ordinateur :
C:/Users/El%C3%A8ve/Downloads/raiso.jpg
C:/Users/Elève/Downloads/sujeyt.jpg ???

Tu peux bien recommencer 10 fois que tu obtiendras toujours le même résultat...

Utilise plutôt : https//www.cjoint com
1. Déposes-y tes images
2. Valide
3. Tu obtiens un code que tu recopies dans un prochain post.

@+

Amine542

Membre

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Messages : 15

Re : Stabilité par somme d'un espace vectoriel

Ah non c'est bon avec cjoint ! Merci!!

Raisonnement :  https://cjoint.com/c/LKukweotHSN

Sujet : https://cjoint.com/c/LKukxw4LSaN

Dernière modification par Amine542 (20-11-2022 11:23:33)

Eust_4che

Membre

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Messages : 185

Re : Stabilité par somme d'un espace vectoriel

Bonjour,

La réponse est... non. Quels que soient le vecteur $u$ d'un espace vectoriel $E$ et un sous-espace $F$ de $E$, on a $u + (-u) = 0 \in F$, mais on ne peut pas en déduire $u \in F$. J'ai l'impression qu'il nous manque une information, parce que les questions 13 et 12 sont fausses en toute généralité : la famille $\{ \Omega(x), x \} $ n'est pas libre si $\Omega \colon x \mapsto i x$. A-t-on des indications sur $\Omega$ ?

E.

Dernière modification par Eust_4che (20-11-2022 12:32:47)

Glozi

Invité

Re : Stabilité par somme d'un espace vectoriel

Bonjour,
En général, si $u+v\in F$ où $F$ est un sous espace vectoriel de $E$ alors, cela ne veut pas dire que $u\in F$ et $V\in F$. (Contre exemple dans $E=\mathbb{R}^2$, prenons $F=\text{Vect}(e_1)$, et $u=e_1+e_2$, $v=e_1-e_2$. Ni $u$ ni $v$ n'est dans $F$ pourtant leur somme est bien dans $F$).

Pour ton exercice, je pense que tu as le bon début de preuve : tu as pris $A\in E\cap \text{Vect}\left((X,Y), \Omega((X,Y))\right)$. Tu as judicieusement écrit $A=\lambda_1 (x,y) + \lambda_2 \Omega((x,y))$. Maintenant il faut se souvenir que $A\in E$ et que $E$ est stable par $\Omega$, en particulier $\Omega(A)\in E$, mais que vaut $\Omega(A)$ ?, puisque $A$ et $\Omega(A)$ sont dans $E$ et que $E$ est un espace vectoriel, alors toute combinaison linéaire de $A$ et $\Omega(A)$ est dans $E$, il faut essayer d'aboutir à une contradiction si on suppose que $A\neq 0$. (se souvenir que $(x,y)\not\in E$...)

je vois alors que j'écris que Eust_4che a déjà répondu :-)

Bonne journée

Amine542

Membre

Inscription : 20-11-2022

Messages : 15

Re : Stabilité par somme d'un espace vectoriel

Bonjour,

La réponse est... non. Quels que soient le vecteur $u$ d'un espace vectoriel $E$ et un sous-espace $F$ de $E$, on a $u + (-u) = 0 \in F$, mais on ne peut pas en déduire $u \in F$. J'ai l'impression qu'il nous manque une information, parce que les questions 13 et 12 sont fausses en toute généralité : la famille $\{ \Omega(x), x \} $ n'est pas libre si $\Omega \colon x \mapsto i x$. A-t-on des indications sur $\Omega$ ?

E.

Oui pardon, l'application omega avait été définie avant la voici : https://cjoint.com/c/LKumIxo0dYN

J'avais en effet pensé à essayer de voir une combinaison linéaire intéressante avec $\omega(A)$ mais je me demandais si la stabilité par addition pouvait me faire un petit raccourci ^^' . Merci beaucoup pour vos réponses ! C'est beaucoup plus clair maintenant.