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maths48

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Question cours extension de corps

Bonsoir,

J'ai ceci dans mon cours :
https://www.cjoint.com/c/LKtrK35t1wF

Je ne vois pas bien pourquoi on a ces inclusions ?

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Question cours extension de corps

Bonjour,
En fait il faut voir ces inclusions comme des injections naturelles des corps $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{F}_p$ dans $K$ via un morphisme de corps injectif.

Soit $K$ un corps commutatif.
Alors on a un morphisme d'anneaux :$f:\mathbb{Z} \to K, 1\mapsto 1_K$. Autrement dit $f(n)=1_K+1_K+\dots +1_K$ ($n$ fois si $n$ positif). On regarde $Ker(f)$ c'est un idéal de $\mathbb{Z}$. Puisque $\mathbb{Z}$ est principal, alors cet idéal est engendré par un $n\geq0$. Ce $n$ est appelé la caractéristique de $K$ et noté $car(K)$. NB : on peut vérifier que si $car(K)$ n'est pas $0$ alors c'est un nombre premier. En effet si $n=n_1n_2$ (de manière non triviale) alors $n_1n_21_K=0_K$ donc $(n_11_K)(n_21_K)=0_K$. Mais puisque $K$ est un corps, alors $n_11_K=0$ ou $n_21_K=0$ ce qui contredit la minimalité de $n$.

Supposons $car(K)=0$ alors $f$ est injectif, et il est légitime d'étendre $f$ à $\mathbb{Q}$ en conservant l'injectivité. Plus précisément, si $r=\frac{p}{q}$ on définit $\overline{f}(r) := f(p)f(q)^{-1}$ (on vérifie sans peine que si $r=\frac{p}{q}= \frac{p'}{q'}$ alors $f(p)f(q)^{-1} = f(p')f(q')^{-1}$). Puis on vérifie que $\overline{f} : \mathbb{Q} \to K$ est un morphisme de corps injectif (d'où $\mathbb{Q}\subset K$). Une manière plus simple et directe de faire cela est d'utiliser la propriété universelle du corps des fractions.

Supposons $car(K)=p$, on résout le défaut d'injectivité de $f$ en quotientant $\mathbb{Z}$ par $p\mathbb{Z}$, on voit alors que $f$ induit un morphisme d'anneaux injectif $\overline{f} : \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to K$. Mais ce morphisme d'anneaux injectif est un morphisme d'anneaux entre des anneaux qui sont en fait des corps, et donc c'est un morphisme de corps injectif.

Bonne journée