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pentium mix

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Croissance et positivité de l'espérance conditionnelle

Bonjour
S'il vous plaît j'aimerai montrer cette propriété de l'espérance conditionnelle:
Monotonicity. If X ≥ Y a.s., then E(X|G) ≥ E(Y |G) a.s. (so if X ≥ 0 a.s., then E(X|G) ≥ 0 a.s.)

Je ne sais vraiment pas comment faire
Merci

Glozi

Invité

Re : Croissance et positivité de l'espérance conditionnelle

Bonjour,

Je te donne une astuce pour le deuxième point.
Posons $Z =\mathbb{1}_{\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]<0}$. Alors $Z$ est une variable $\mathcal{G}$ mesurable, et bornée, positive. Supposons par l'absurde $\mathbb{P}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] <0) >0$. Alors $\mathbb{E}[Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] < 0$ (vois tu pourquoi ?) Cependant puisque $Z$ est $\mathcal{G}$ mesurable, alors par propriété de l'espérance conditionnelle. $\mathbb{E}[Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ZX|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[ZX]\geq 0$ (car $Z$ et $X$ sont positives) contradiction.
Le premier point n'est pas très différent du deuxième.

Bonne journée

pentium mix

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Re : Croissance et positivité de l'espérance conditionnelle

Bonjour,

Je te donne une astuce pour le deuxième point.
Posons $Z =\mathbb{1}_{\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]<0}$. Alors $Z$ est une variable $\mathcal{G}$ mesurable, et bornée, positive. Supposons par l'absurde $\mathbb{P}(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] <0) >0$. Alors $\mathbb{E}[Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] < 0$ (vois tu pourquoi ?) Cependant puisque $Z$ est $\mathcal{G}$ mesurable, alors par propriété de l'espérance conditionnelle. $\mathbb{E}[Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ZX|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[ZX]\geq 0$ (car $Z$ et $X$ sont positives) contradiction.
Le premier point n'est pas très différent du deuxième.

Bonne journée

Waouhhh
Merci bien
Pour le premier point je vais utiliser le second en écrivant
X-Y>0 puis utilisé la linéarité de l'espérance conditionnelle

Grand merci