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integraal

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Méthode variation de la constante

Bonjour,

J'aurais une question à vous soumettre. J'essaye de démontrer la propriété suivante :

Posons $I$ un intervalle quelconque de $\mathbf{R}$ non réduit à un point et $F$ un $\mathbf{K}$ espace vectoriel de dimension $n$ avec $\mathbf{K}$ le corps des réels ou complexes. Posons l'équation différentielle $ \varphi'(t) = a(t)(\varphi(t))+b(t) \,l'équation\,(E)$ avec $a$ continue de $I$ dans dans $\mathbf{L}(F)$ et $b$ continue de de $I$ dans $F$.

On veut montrer la propriété suivante : Soit $(\varphi_1, ... , \varphi_n)$ un système fondamental de solutions de l'équations homogène. $\forall\phi\in{C^{1}(I,F)}$ Il existe une unique famille $(\lambda_1, ... , \lambda_n)$ de $\mathbf{C}(I,\mathbf{K})$ telle que : $ \phi \,=\, \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i $

Voici les pistes que j'ai jusqu'à présent explorées, sans pouvoir aboutir :

Soit $S_0$ l'espace vectoriel des solutions homogène. On peut alors pour $t$ dans $I$ poser l'application $\delta$ de $S_0$ dans $F$ qui à $\varphi$ associe $\varphi(t)$. On sait que cette application est un isomorphisme d'e-v d'après Cauchy Lipschitz. Soit une base de $S_0$ notée $(\varphi_1,...,\varphi_n)$. Pour tout $t \in{I}$ on a $(\varphi_1(t), ... , \varphi_n(t))$ une base de $F$ car $ \delta$ est un isomorphisme .On pose $(\lambda_1, ... , \lambda_n)$ une famille d'application de $I$ dans $K$ telle que pour tout $i \in{\{1,..n\}}$ et pour tout $t \in{I}$, on a  $\lambda_i(t) \,=\, \lambda_{i,t}$ avec $\lambda_{i,t}$ satisfaisant  $\phi(t)\,=\, \sum_{i=1}^n \lambda_{i,t} \varphi_i(t) $. On a donc bien défini une famille $(\lambda_1, ... , \lambda_n)$ de fonctions satisfaisant $ \phi \,=\, \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi_i $ mais je ne vois pas comment démontrer que cette famille est dans $C^1(I,K)$. Autant la continuité peut-être mais je n'arrive pas à montrer la dérivabilité ni la continuité de la dérivé. Je ne sais pas si ma démarche est la bonne ou si je me fourvoie complètement. Peut être y a t-il une erreur dans l'énoncé du cours. Je désespère.

Merci d'avance

Dernière modification par integraal (14-11-2022 23:37:52)

Glozi

Invité

Re : Méthode variation de la constante

Bonjour,
Je pense que ta démarche est la bonne. Je pense qu'il te manque juste la vision du problème en tant que problème matriciel.

En effet, posons $\mathcal{B}=(f_1,\dots,f_n)$ une base de $F$. Considérons la matrice $M(t)\in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})$ dont la colonne $i$ correspond à l'écriture de $\varphi_i(t)$ dans la base $\mathcal{B}$. De même, écrivons $\Psi(t)\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ le vecteur colonne correspondant à l'écriture de $\phi(t)$ dans la base $\mathcal{B}$. Alors résoudre le système $M(t)\lambda(t) = \Psi(t)$ d'inconnue $\lambda(t) = (\lambda_1(t),\dots,\lambda_n(t))^T$ revient à trouver les coefficients que tu veux. Or $M(t)$ est bien connue : c'est la matice fondamentale du système. On peut montrer que $t\mapsto M(t)$ est $\mathcal{C}^1$ et que pou tout $t$ alors $M(t)$ est inversible (le déterminant de $M(t)$ s'appelle d'ailleurs le Wronskien). Ainsi tu as $\lambda(t) = M(t)^{-1}\Psi(t)$. Tu as le produit (matriciel) de deux fonctions $\mathcal{C}^1$ (vois tu pourquoi $t\mapsto M(t)^{-1}$ est $\mathcal{C}^1$ ?).

Moralement qu'est ce qu'on fait ? On sait que pour chaque $t$, $(\varphi_1(t),\dots,\varphi_n(t))$ est une base de $F$. Cette base varie lorsque $t$ bouge. Mais certainement elle varie de manière "lisse" (car les $\varphi_i$ sont lisses). Ainsi les expressions des coordonnées d'un vecteur dans ces bases variables ne doivent évoluer de manière lisse lorsque $t$ varie. Cela reste vrai si le vecteur en question ($\phi(t)$) lui même bouge de manière lisse.

Si tu as entendu parler du théorème des fonctions implicites, une autre manière de résoudre le problème est la suivante :
Considérer $F : \mathbb{R}\times \mathbb{K}^n \to F, (t, (\lambda_1,\dots, \lambda_n)) \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda_i \varphi(t) - \phi(t)$.
Il faut montrer que $\frac{\partial F}{\partial \lambda}$ est inversible, puis le théorème des fonctions implicites s'applique.

Bonne journée

integraal

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Re : Méthode variation de la constante

Bonjour,

Poser le problème matriciellement simplifie en effet la vision du problème. Vue comme cela le problème parait en effet plus clair.

Je vois comment montrer que $t\rightarrow M(t)$ est de classe $C^1(I,F)$, car $ (\varphi_1,..., \varphi_n)$ sont chacune de classe $C^1(I,F)$. Je comprends aussi pourquoi pour un $t$ donné $M(t)$ soit inversible. Il ne reste donc plus que à montrer que $t\rightarrow M^{-1}(t)$ est de classe $C^1(I,F)$ :

L'on peut, peut-être, poser l'application $f:\,t\rightarrow M^{-1}(t)M(t)$ l'on a donc $f=I_n$ or l'application $t\rightarrow I_n$ est une constante de classe au moins $C^1(I,F)$. L'on a  donc un produit deux fonctions $t\rightarrow M^{-1}(t)$ et $t\rightarrow M(t)$ dont le produit est de classe $C^1(I,F)$ et avec une des deux fonctions du produit de classe $C^1(I,F)$. L'on a donc nécessairement $t\rightarrow M^{-1}(t)$ de classe $C^1(I,F)$. Je crois ce raisonnement correct sauf erreur de ma part.

Concernant la notion de fonctions implicites, celle-ci ne semble pas figurer pas dans mon programme (spé MP). Cependant il serait intéressant que je l'aborde tout de même.

Je tenais à vous remercier pour votre réponse. J'étais désespéré, ce problème a vraiment joué avec mes nerfs. Merci encore

Dernière modification par integraal (15-11-2022 12:55:27)

Glozi

Invité

Re : Méthode variation de la constante

Bonjour,
Content d'avoir pu t'aider, je pense que c'est complètement normal de bloquer parfois, c'est souvent benefique a terme.
Ton argument pour prouver que $t\mapsto M(t)^{-1}$ est $\mathcal{C}^1$ ne me convainc cependant pas : $f(t)\times 0 =0$ donc toute fonction $f$ est lisse...(f multiplié par une fonction lisse donne une fonction lisse, n'implique pas que f est lisse).
En revanche tu peux dire que chacune des coordonnées de la matrice $M(t)$ est lisse et utiliser la formule de la comatrice pour en deduire que les coefficients de $M(t)^{-1}$ sont egalement reguliers (argument classique).

Aussi on préfère écrire $M(t)^{-1}$ que $M^{-1}(t)$ car c'est la matrice $M(t)$ qu'on inverse et non l'application $M : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{K})$
Bonne journée.

integraal

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Re : Méthode variation de la constante

En effet, au temps pour moi, mon erreur était grossière. J'ai pu rédiger une preuve exacte en utilisant l'argument utilisant la formule de la comatrice comme vous me l'avez fait remarquer. Je vous remercie encore une fois de votre aide.

Bonne journée