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spike

Invité

Intérieur d'un espace vectoriel

Bonsoir à toutes et à tous,

J'aurais une question je vous prie. Si E est un espace vectoriel (de dimension finie ou infinie), alors son intérieur est il égal à lui-même?
D'ailleurs, E est il ouvert, fermé, ou les deux à la fois?

D'avance un grand merci!

Glozi

Invité

Re : Intérieur d'un espace vectoriel

Bonsoir,
Quand on parle d'intérieur, d'ouverts, de fermés etc... c'est qu'on a définit au préalable une topologie. Sans topologie, la question n'a aucun sens. Et la réponse est relative au choix de la topologie.

Exemple : prenons $V=\mathbb{R}$ c'est un espace vectoriel réel de dimension $1$.
Si on voit $V$ comme partie de $\mathbb{C}$ l'ensemble des complexe (espace vectoriel de dimension réelle $2$) muni de la distance euclidienne usuelle (qui définit donc une topologie sur $\mathbb{C}$). Alors $V$ est un fermé d'intérieur vide dans $\mathbb{C}$.
Si on voit $V$ comme partie de $V$ muni de la topologie induite par la distance $|\cdot|$ (valeur absolue). Alors $V$ est un ouvert fermé de $V$.

Bref, il faut dire quelle est la topologie dont on parle.

Bonne soirée