Forum de mathématiques - Bibm@th.net

FFR

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Construire le rayon d’un cercle dont le centre n’est pas donné.

Bonjour à tous, je vous soumets un petit problème qui m'a paru assez élégant.
Dans la figure ci-dessous, le centre du cercle $C_0$ (en rouge) n’est pas donné.

-    On choisit deux points différents sur le cercle $C_0$ : A et B.
-    On construit les cercles $C_1$ de centre A et de rayon AB et le cercle $C_2$ de centre B et de rayon BA. On appelle C le point d’intersection de $C_1$ et $C_2$ situé à l’extérieur de $C_0$ et on appelle D le point d’intersection de $C_0$ et $C_2$
-    On trace la droite DC, elle rencontre le cercle $C_0$ en E.
Montrer que EC est de même longueur que le rayon du cercle $C_0$.
Avec cette méthode on aura construit en 3 étapes seulement et uniquement avec l’aide d’une règle et d’un compas un segment de longueur égale au rayon du cercle.
François.

Wiwaxia

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Re : Construire le rayon d’un cercle dont le centre n’est pas donné.

Bonjour,

Il y a dans la figure 5 segments (au moins) de longueur égale au rayon des cercles (C₁, C₂):.

Aurait-on-là un point de départ pour la démonstration ?

Autre idée, brièvement exposée faute de temps: partir de l'hypothèse supposée juste, et considérer les deux cercles de même rayon (R₀), l'un centré en un point (O₀) initialement non tracé, l'autre au point (C) et admettant pour points d'intersection (E et E'); on est alors en présence d'un losange (O₀ECE') d'arête (R₀); la construction des deux autres cercles (C₁, C₂) est alors possible puisque:
- (D, D') se situent aux intersections du cercle (C₀) avec les prolongements des segments (CE, CE'), d'une part;
- (A, B) se situent de même aux intersections du cercle (C₀) avec les médiatrices des segments (CD, CD').

Je laisse à d'autres le soin de mettre correctement en forme cette ébauche de raisonnement.

Dernière modification par Wiwaxia (24-08-2022 14:06:47)

FFR

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Re : Construire le rayon d’un cercle dont le centre n’est pas donné.

Bonjour Wiwaxia,
J’ai procédé autrement, mais il y a certainement plusieurs chemins qui mènent à la solution. Comme toi j’ai commencé par marquer le point O centre de $C_0$. Ensuite avec ce type de figure j’utilise souvent le théorème des angles inscrits, cela permet rapidement de trouver des triangles isométriques.
Pour ce problème, j’ai commencé par faire apparaître que EAC est isocèle en E, puis que OEA était équilatéral.

▼Une solution détaillée

EAC est isocèle en E car les deux triangles BEC (en bleu) et BEA (en vert) sont isométriques. En effet :
-    Les deux cercles $C_1$ et $C_2$ ont même rayon, ce qui permet d’établir que ABC est équilatéral, donc BA=BC.
-    $\widehat {BCE}=\widehat {EDB}$ car BDC est isocèle en B (B est le centre de $C_2$ et CD est une corde de $C_2$).
-    $\widehat {EDB}=\widehat {EAB}$ par application du théorème des angles inscrits dans $C_0$ appliqué à l’arc $\widehat {DE}$.
Donc $\widehat {BCE}=\widehat {EAB}$. Ainsi BEC est isométrique à BEA, donc EC=EA.

OEA (en rouge) est équilatéral. En effet :
-    OE=OA donc OEA isocèle en O.
En utilisant plusieurs fois le théorème des angles inscrits ;
-    Dans $C_0$ appliqué à l’arc $\widehat {EA}$ : $\widehat {AOE}=2 \times \widehat {ADE}$
-    $\widehat {ADE}=\widehat {ADC}$ car par construction les points D E C sont alignés.
-    Dans $C_2$ appliqué à l’arc $\widehat {AC}$ : $\widehat {ADC}=\frac 1 2 \times \widehat {ABC}$
-    Donc $\widehat {AOE}=\widehat {ABC}$ = 60 degrés.
Comme AOE isocèle en 0 AOE est un triangle équilatéral : OA = EA, comme EAC est isocèle en E, EC=EA=OA (rayon du cercle d’origine $C_0$)

François.

Dernière modification par FFR (01-09-2022 23:13:59)

LaurentJ

Invité

Re : Construire le rayon d’un cercle dont le centre n’est pas donné.

petite coquille dans la démonstration, il s’agit de l’arc BE et non DE.

Bernard-maths

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Re : Construire le rayon d’un cercle dont le centre n’est pas donné.

Bonjour à tous !

Mon post a sauté tout à coup pour une erreur ??? Je reprends donc.

Cette figure est amusante pour plusieurs raisons...

1) Si on promène A sur C0, le VECTEUR EC garde une direction fixe (et une longueur aussi) ; si on promène B on en change la direction.
Evidemment, C n'est plus forcément seul en-dehors de C0 ! (B dans le tiers opposé à A ?)

2) A étant fixé, on peut amener B de telle sorte que le cercle C1 passe par E ET le cercle C2 passe par D. Alors les 3 cercles ont même rayon, ET le point C est le centre de C0 ! [DE] en est un diamètre ...

Je rencontre des problèmes analytiques ... je continuerai plus tard !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (10-11-2022 11:18:24)

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yoshi

Modo Ferox

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Re : Construire le rayon d’un cercle dont le centre n’est pas donné.

Bonjour,

Depuis le début, cet exercice m'a rappelé l'énigme que je posais aux 6e, après certaine leçon (au singulier), et des exercices de tracés et des bribes de démos. Je me dirigeai vers le tableau, attrapai un morceau de craie, la corbeille à papier (quand elle n'était pas pleine...), la plaquai contre ledit tableau (stupeur générale : mékeskifé ???) et traçai un arc de cercle inférieur à un demi-cercle...
Après avoir reposé craie et corbeille, je posais l'équerre, la règle d'un mètre et le compas sur mon bureau et demandai à la cantonade : qui peut me trouver le centre et finir le cercle ?
Les volontaires étaient nombreux, mais pas très efficaces, évidemment...
Alors, je lâchai un indice : De quoi parle la leçon qu'on vient de voir ?

@+

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