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pentium mix

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Géométrie différentielle

Bonjour bonjour

S'il vous plaît je bloque sur la question 2 de cet exercice
https://www.cjoint.com/c/LKgiN3xoDLx

Merci d'avance

Ce que je sais c'est qu'il faut montrer que GR(n,k) est réunion des UI
Que chaque application est injective
Que les applications de changements de cartes sont des homéomorphismes et
que les images des intersection d'ensemble par ces applications sont des ouverts

Mais je n'arrive a rien montrer

Dernière modification par pentium mix (06-11-2022 09:45:51)

Glozi

Invité

Re : Géométrie différentielle

Bonjour,
Je te propose d'essayer de bien comprendre ce que représente $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$. En fait tu peux montrer le lemme suivant :
Lemme : Notons $E_{J}= \text{Vect}(e_j, j\in J)$. Alors $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$ consiste en tous les supplémentaires de $E_{I^c}$.
Une inclusion est facile, l'autre fait un peu plus réfléchir.

Cela te permettra facilement de montrer que du recouvres $Gr(n,k)$.

Le fait que les applications sont injectives est déjà fait dans la question 1.

Pour le changement de cartes, alors là ca me fait un peu mal au crâne. En testant sur $Gr(2,1)$ (les droites du plan) alors le changement de carte s'écrit $\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*, x\mapsto 1/x$ qui est bien continue.

▼quelques idées

Dans le cas général voici ce à quoi je pense :
Prenons un élément $V$ de $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$, prenons une base de $V$, $(v_1,v_2,\dots,v_k)$. Si on écrit les vecteurs $v_i$ dans la base canonique $e_1,\dots, e_n$ on obtient une matrice $M$ à $n$ lignes et $k$ colonnes. Notons que cette matrice n'est pas unique (car il y a plusieurs bases possibles). Cependant l'image de cette matrice encode $V$ (on dit que $M$ encode $V$). Puisque $V$ est dans $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$ alors la matrice formée à partir de $M$ en gardant uniquement les $k$ lignes correspondant à $I$ est une matrice $k\times k$ inversible, notons là $M_I$. Alors $M\times M_I^{-1}$ est une matrice $n\times k$ telle que la matrice obtenue à en gardant uniquement les $k$ lignes correspondant à $I$ forme la matrice $I_k$. Par ailleurs, l'image de $M$ et de $M\times M_I^{-1}$ est la même (à savoir $V$). Ainsi $M\times M_I^{-1}$ encode $V$. Par ailleurs les autres lignes de $M\times M_I^{-1}$ forment une matrice $A$ ($n-k$ lignes et $k$ colonnes). On remarque qu'avec les notations de ton énoncé alors $\Psi_I(A)=V$. Ainsi je suis parti de $V$ et j'ai trouvé la matrice $A$ telle que $\Psi_I(A)=V$.

Maintenant si $V$ est supplémentaire de $E_{I^c}$ et supplémentaire de $E_{J^c}$ alors posons $A:= \Psi_I^{-1}(V)$, on veut comprendre $B=\Psi_J^{-1}(\Psi(A))$. Prenons $M$ une matrice qui encode $V$. Alors par hypothèse, $M_I$ et $M_J$ sont inversibles. J'abuse les notations en écrivant $A= MM_I^{-1}$ et $B=MM_J^{-1}$, les matrices n'ont pas la bonne taille (il faut comprendre garder uniquement les lignes de $I^c$ ou de $J^c$...) De là je pense que ce n'est pas trop dur de dire que $B$ s'obtient continûment à partir de $A$.

pentium mix

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Re : Géométrie différentielle

Bonjour,
Je te propose d'essayer de bien comprendre ce que représente $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$. En fait tu peux montrer le lemme suivant :
Lemme : Notons $E_{J}= \text{Vect}(e_j, j\in J)$. Alors $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$ consiste en tous les supplémentaires de $E_{I^c}$.
Une inclusion est facile, l'autre fait un peu plus réfléchir.

Cela te permettra facilement de montrer que du recouvres $Gr(n,k)$.

Le fait que les applications sont injectives est déjà fait dans la question 1.

Pour le changement de cartes, alors là ca me fait un peu mal au crâne. En testant sur $Gr(2,1)$ (les droites du plan) alors le changement de carte s'écrit $\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*, x\mapsto 1/x$ qui est bien continue.

▼quelques idées

Dans le cas général voici ce à quoi je pense :
Prenons un élément $V$ de $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$, prenons une base de $V$, $(v_1,v_2,\dots,v_k)$. Si on écrit les vecteurs $v_i$ dans la base canonique $e_1,\dots, e_n$ on obtient une matrice $M$ à $n$ lignes et $k$ colonnes. Notons que cette matrice n'est pas unique (car il y a plusieurs bases possibles). Cependant l'image de cette matrice encode $V$ (on dit que $M$ encode $V$). Puisque $V$ est dans $\Psi_I(\mathbb{R}^{k(n-k)})$ alors la matrice formée à partir de $M$ en gardant uniquement les $k$ lignes correspondant à $I$ est une matrice $k\times k$ inversible, notons là $M_I$. Alors $M\times M_I^{-1}$ est une matrice $n\times k$ telle que la matrice obtenue à en gardant uniquement les $k$ lignes correspondant à $I$ forme la matrice $I_k$. Par ailleurs, l'image de $M$ et de $M\times M_I^{-1}$ est la même (à savoir $V$). Ainsi $M\times M_I^{-1}$ encode $V$. Par ailleurs les autres lignes de $M\times M_I^{-1}$ forment une matrice $A$ ($n-k$ lignes et $k$ colonnes). On remarque qu'avec les notations de ton énoncé alors $\Psi_I(A)=V$. Ainsi je suis parti de $V$ et j'ai trouvé la matrice $A$ telle que $\Psi_I(A)=V$.

Maintenant si $V$ est supplémentaire de $E_{I^c}$ et supplémentaire de $E_{J^c}$ alors posons $A:= \Psi_I^{-1}(V)$, on veut comprendre $B=\Psi_J^{-1}(\Psi(A))$. Prenons $M$ une matrice qui encode $V$. Alors par hypothèse, $M_I$ et $M_J$ sont inversibles. J'abuse les notations en écrivant $A= MM_I^{-1}$ et $B=MM_J^{-1}$, les matrices n'ont pas la bonne taille (il faut comprendre garder uniquement les lignes de $I^c$ ou de $J^c$...) De là je pense que ce n'est pas trop dur de dire que $B$ s'obtient continûment à partir de $A$.

D'accord merci bien