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alloirat

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Diagonaliser matrice de grande taille

Salut tout le monde
j'ai un problème concernant  la diagonalisation  de la matrice suivante 

j'ai calculé le polynôme caractéristique pour le cas de n=1 et n=5, je trouve une relation $(X-1)X^n(X-2)^n$ qu'on peut montrer par récurrence  mais j'arrive pas  à montrer cette relation par récurrence, quelle opération élémentaire qu'on peut faire.

Dernière modification par alloirat (06-11-2022 01:05:46)

Glozi

Invité

Re : Diagonaliser matrice de grande taille

Bonjour,
Je n'ai pas trouvé de jolie méthode par récurrence. En revanche on s'en sort avec un calcul direct. En notant $A$ ta matrice, on peut calculer $\det(XI_{2n+1}-A)$ juste en jouant sur les lignes et les colonnes. Je te conseille par exemple pour commencer de remarquer que tu peux factoriser ton déterminant par $(X-1)$ (via la colonne du milieu). Puis de faire $C_k$ devient $C_k + C_{2n+2-k}$ pour $k=2,\dots,n$. Ainsi tu auras déjà $(X-2)^{n-1}$ qui va se factoriser. Je te laisse jouer un peu avec des arguments similaires mais je crois qu'on peut s'en sortir.

En revanche, je ne sais pas vraiment si calculer le polynôme caractéristique est vraiment utile pour diagonaliser la matrice. Je te conseille plutôt de chercher directement les espaces propres : à savoir les $x\in \mathbb{R}^{2n+1}$ tels que $Ax=\lambda x$ pour un certain $\lambda$ (si tu poses le système à $2n+1$ équations, tu trouveras des choses sympas).

Bonne soirée.

alloirat

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Re : Diagonaliser matrice de grande taille

Merci Golzi