Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

limite d'une suite (presque partout)

Bonjour,

Comment voit-on que [tex]\lim_{n\to +\infty} sin^{n}(x)=0[/tex] presque partout sur [tex][0;200][/tex] par exemple ?
Il suffit simplement de "dire" que [tex]sin^{n}(x)=0[/tex] sauf un nombre fini de points de [tex][0;200][/tex] ?
Mais du coup, on aurait aussi que [tex]sin^{n}(x)=1[/tex] sauf en un nombre fini de points de [tex][0;200][/tex] il me semble.
Pourquoi choisir [tex]0[/tex] alors ?

Merci !

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonjour

Inutile de vous compliquer la vie.
la suite ne tend pas vers 0 seulement  pour les x tels que |sin(x)| = 1, elle sera constante égale à 1 ou bien aura deux valeurs d'adhérence, 1 et -1. Cet ensemble sauf erreur est de mesure nulle (pourquoi?)

A.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonjour bridgslam,

Merci pour votre réponse, j'ai compris !
L'ensemble est de mesure nulle car il est dénombrable.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonsoir,

Après, pour une vraie réponse mathématique il faut sans doute que vous précisiez l'ensemble des x où la suite n'est pas convergente vers 0, et montrer qu'il est fini.
Sinon le correcteur devra vous croire sur parole, ce qu'il rechigne en général.

Bonne soirée
A.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonjour bridgslam,

Cela m'a permis de montrer que [tex]\int_{[0;200]} sin^{2n}(x)d\lambda(x)=0[/tex].

J'essaye de comprendre maintenant pourquoi [tex]\int_{[0;+\infty[} sin^{2n}(x)d\lambda(x)=+\infty[/tex].

Déjà, pourquoi ne peut-on pas appliqué le même raisonnement que précédemment ? Est-ce parce que les bornes dépendent de [tex]n[/tex], et que du coup lorsque [tex]n[/tex] tend vers l'infini, on perd la finitude de l'ensemble sur lequel la limite de [tex]sin^{2n}(x)[/tex] en l'infini est non nulle ?

J'ai commencé ainsi :

[tex]\int_{[0;+\infty[} sin^{2n}(x)d\lambda(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{[n\pi;(n+1)\pi]} sin^{2n}(x)d\lambda(x)[/tex].

Maintenant, puisque [tex]x\to sin^{2n}(x)[/tex] est de période [tex]\pi[/tex], alors [tex]\int_{[n\pi;(n+1)\pi]} sin^{2n}(x)d\lambda(x)=\int_{[0;\pi]} sin^{2n}(x)d\lambda(x)[/tex], et donc :

[tex]\int_{[0;+\infty[} sin^{2n}(x)d\lambda(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{[0;\pi]} sin^{2n}(x)d\lambda(x)[/tex].

Bon là, j'imagine qu'il faudrait utiliser une minoration adéquate pour montrer que la somme diverge.
Je pensais également à inverser intégrale et somme, mais pour cela il faudrait que je montre que [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{[0;\pi]} |sin^{2n}(x)|d\lambda(x)[/tex], ce qui ne m'avance pas plus, surtout si le tout diverge !

Voilà où j'en suis ^^

Merci pour vos éclaircissements !

Glozi

Invité

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonjour,

J'ai l'impression qu'il y a une grosse confusion.
Tu n'as pas montré que $\int_{[0,200]}\sin(x)^{2n}dx = 0$ (c'est d'ailleurs très faux), mais que $\int_{[0,200]}\sin(x)^{2n}dx \xrightarrow[n\to\infty]{}0.$ Quel théorème tu as utilisé pour faire ça ? Quelles sont ses hypothèses et pourquoi sont elles vérifiées ?

Ensuite on te demande de montrer que $\int_0^\infty \sin(x)^{2n}dx = \infty$ (cela est une égalité qui doit être vérifiée pour chaque $n$). Ton idée de découper l'intégrale en plusieurs morceaux est bonne. Cependant tu écris :

et donc :
[tex]\int_{[0;+\infty[} sin^{2n}(x)d\lambda(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{[0;\pi]} sin^{2n}(x)d\lambda(x)[/tex].

C'est faux, car tu as utilisé le $n$ comme une variable muette comme indice de la somme, alors que c'était déjà une variable parlante ($\sin(x)^{2n}$).

Bonne journée

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonsoir Glozi,

J'ai écris plein de bêtises.
Bien entendu, on montre que [tex]\lim_n \int_{[0;200]} \sin^{2n}(x)d\lambda(x)=0[/tex].
D'autre part, on a bien que [tex]\int_{[0,\pi]} \sin^{2n}(x)d\lambda(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} \int_{[0,\pi]} \sin^{2i}(x)d\lambda(x)[/tex].

En fait, mon interrogation est de savoir pourquoi on ne peut pas appliquer le raisonnement utilisé sur le segment [tex][0,\pi][/tex] au segment [tex][n\pi;(n+1)\pi][/tex] ?

Merci

Glozi

Invité

Re : limite d'une suite (presque partout)

on a bien que [tex]\int_{[0,\pi]} \sin^{2n}(x)d\lambda(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} \int_{[0,\pi]} \sin^{2i}(x)d\lambda(x)[/tex].

C'est encore raté ! Il y a toujours la confusion entre $n$ variable liée et variable libre. (d'ailleurs remarque que ton terme de droite ne dépend même plus de $n$, inquiétant non ?)
Tu dois écrire quelque chose comme :
$$\int_0^\infty \sin(x)^{2n}dx =\sum_{i=0}^\infty \int_{i\pi}^{(i+1)\pi}\sin(x)^{2n}dx = \sum_{i=0}^\infty \int_{[0,\pi]} \sin^{2n}(x)dx.$$

Il faut remarquer qu'à droite la somme porte sur $i$, mais que les intégrales à droite sont des intégrales de $\sin(x)^{2n}$ (avec un $n$).

Pour ta question, rien de t'empêche de dire que pour tout segment $[a,b]$ fixé, alors $\int_a^b \sin(x)^{2n}dx \xrightarrow[n\to\infty]{}0.$ (mais es tu sur que c'est clair pourquoi ?)
Quid du cas où $a$ et $b$ dépendent de $n$ ? Alors ça dépend, il vaut mieux revenir au théorème de convergence dominée ou autre et voir si on peut dire quelque chose d'intéressant. Toi pour $a=n\pi$ et $b=(n+1)\pi$, alors tu peux utiliser la $\pi$ périodicité pour te ramener à un segment fixé.

Tu ne veux pas essayer d'écrire proprement pourquoi $\int_0^\pi \sin(x)^{2n}dx \to 0$ pour être sur que c'est bien compris ? Si tu y arrives tu devrais voir pourquoi le même argument ne marche pas pour $\int_0^\infty \sin(x)^{2n}dx$.

Bonne journée

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : limite d'une suite (presque partout)

Bonjour Glozi,

J'ai fait ça dans la précipitation, ce n'est pas un travail sérieux, je le reconnais.
Je rédige quelque chose au propre aujourd'hui.
Merci pour ta patience et tes conseils.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : limite d'une suite (presque partout)

Je me suis permis d'héberger le document pdf ici : http://myreader.toile-libre.org/Limite.pdf

Glozi

Invité

Re : limite d'une suite (presque partout)

Super, c'est très clair ! bravo :-)