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maths48

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exercice groupes

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici le sujet (en 2 parties) :
https://www.cjoint.com/c/LKcjxwMhnIF
https://www.cjoint.com/c/LKcjxTYZ8GF

1. (Gros doute) Si G/Z est d'ordre supérieur 1 : |G/Z| > 1 <=> G différent de Z ainsi G n'est pas abélien et G/Z non plus ?

2. Par l'équation aux classes, on a : |Z| = |G| - somme (|G| / |H_i|), les H_i étant des sous-groupes de G distincts de G. La somme en question étant la somme de puissances non nulles de p, on a que Z est divisible par p et donc ne pas être égal à 1.

3. Celle-ci c'est bon

4. Je bloque complètement sur celle-ci...
a) Je n'arrive pas à visualiser f(C) ? Même en revenant aux définitions, je n'arrive pas à écrire f(ker f) ? 

5. • Soit g dans G d'ordre 8. <g> = G or G n'est pas abélien. Absurde. G ne contient pas d'élément d'ordre 8.

• Pour l'élément d'ordre 4 je n'arrive pas à conclure : J'ai dit : l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Ainsi les ordres possibles des éléments de G sont : 1, 2, 4 et 8. 1 correspond à l'élément neutre et on a vu que 8 était impossible. J'aurais voulu montrer que l'ordre 2 était impossible et donc ne restant que 4, on pouvait conclure. Mais je n'arrive pas à montrer cela donc...

6. • G est produit semi-direct de C et <s> si :
- C est distingué dans G (L'indice de C dans G étant 2, on a la distinction)
- C inter <s> = {e} je suppose que cela a un rapport avec s appartient à G/C ? Mai sje ne vois pas comment le montrer ?
- le produit de C et <s> égale G : G fini, C distingué dans G, (pour cette affirmation j'admets C inter <s> = {e}). Alors |C| . |<s>| = G <=> le produit de C et <s> égale G. (d'après le cours).

• G est isomorphe au groupe diédral D₈ par cardinalité ? Puisqu'il est produit semi-direct d'un groupe de cardinal 4 et d'un groupe de cardinal 2 ?

7. • On sait que Z n'est pas trivial donc |Z| >= 2. Mais je ne vois pas comment montrer l'égalité ?
• On a  |G/Z| = 4. D'après la question 2, les seuls groupes d'ordre p² (ici = 2²) sont Z/4Z et Z/2Z x Z/2Z. On a alors que G/Z est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z ?

Pourriez-vous me dire ce que vous pensez de ce que j'ai fait et m'éclairer pour le reste ?

Merci d'avance,
Bonne journée

bridgslam

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Re : exercice groupes

Bonjour,

si g et g' sont deux éléments de G, comment pouvez-vous les écrire pour montrer que Z = G si Z est cyclique?
Dès lors |G/Z| = 1.

▼une possibilité

On écrit que pour deux entiers i et j et z, z' dans Z on a $g = a^i z$  et $ g' = a^j z'$
Je vous laisse faire le (petit) calcul.

Par-contre l'implication G non abélien => G/Z non abélien est fausse ( par exemple le quotient du groupe diédral $D_4$ à 8 éléments par son centre est d'ordre 4, isomorphe au groupe de Klein, donc abélien, mais $D_4$ n'est pas abélien ).

4/ je pense qu'il y a une erreur: il faut montrer que $f(H) \subset C$

alors :

▼pourquoi C contient f(H) ?

$f( f( g_{0}^{i}) = f( g_{0}^{2i} ) = g_{0}^{4i} = e$ d'où cette propriété.

Comme $f(H) est  \{e,  g_{0}^2\} $  ( éléments qui sont distincts ), et que C contient f(H) , l'ordre de C est au moins 2.

Si l'ordre de C est exactement 2, alors $C =  \{e,  g_{0}^2\} $. Montrons que c'est impossible (un peu délicat):
Si b est dans G\H , b n'est pas non plus dans C, b est donc d'ordre 4, avec en prime $b^2$ d'ordre 2, donc $b^2 = g_{0}^2$
Alors $f(b^{-1}g_{0}) = e $ implique $ b^{-1}g_{0} \in C \subset H$   donc $b \in H$ contraire à l'hypothèse.
Donc C possède au moins 3 éléments.

L'ordre de C est donc soit 4, soit 8,  puisque divisant l'ordre de G. Mais si #C = 8, tous les éléments de G distincts de e seraient d'ordre 2,
impossible car $g_0$ est d'ordre 4 par hypothèse. Ainsi #C = 4.
Le seul élément de H d'ordre 2 est $g_{0}^2$, donc C qui a 3 autres éléments n'est pas inclus dans H.

b/ l'isomorphisme est facile à trouver, l'application (morphisme car G est abélien)  est naturelle, montrer d'abord  qu'elle est injective, elle sera surjective aussi par raison de cardinalité.

5/ si tout élément est d'ordre 2, c'est un classique: G est commutatif, je vous laisse deviner pourquoi.
    Ce cas étant donc à exclure, il existe un élément d'ordre 4.

A.

Dernière modification par bridgslam (03-11-2022 11:21:28)

bridgslam

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Re : exercice groupes

Bonjour,

Sinon, attention dans certaines questions vous mentionnez l'argument "tel ordre impossible" etc.
Il faut utiliser des quantificateurs ( certains éléments peuvent avoir l'ordre en question, pas tous, aucun  etc  ou autres variantes ).
Tel que vous l'avez formulé dans certaines questions, c'est très ambigu.

Par ailleurs f( ker f ) = {e} ce qui est la définition du noyau, mais ne fait guère avancer le schmilblick, sauf erreur.
C'est bien pour ça que je vous évoque une erreur d'énoncé.

Si on s'intéresse à f(H) c'est nettement plus constructif et permet de conclure la question (voir ci-dessus).

A.

Dernière modification par bridgslam (03-11-2022 17:55:06)

maths48

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Re : exercice groupes

Bonsoir,

Merci de vos réponses !

si g et g' sont deux éléments de G, comment pouvez-vous les écrire pour montrer que Z = G si Z est cyclique?
Dès lors |G/Z| = 1.

Pour vérifier si j'ai compris : Si on montre ceci, comme Z est toujours cyclique puisque c'est le centre de G, on montre que G/Z est cyclique et ne peut être que d'ordre 1 ?

Voici ce que j'ai fait de plus :
4. c) On en déduit que G est isomorphe à l'un de ces trois groupes car d'après la b) on a un isomorphisme : H x <g> --> G et |H x <g>| = 4x2 = 8 = le cardinal des trois groupes de l'énoncé. C'est bien ça ?
En revanche, je me demande pourquoi pour g dans C \ H, <g> = 2 ?

7. Pour le cardinal de Z j'ai pensé à utiliser l'équation aux classes : |Z| = |G| - somme (|G| / |Hi|), les Hi étant des sous-groupes de G distincts de G.

On a alors |Z| = 8 - (2 + 2 +...) = 2

Le premier 2 venant de |G/C| = 8/4 = 2, le second venant de : pour g dans G \ C donc g est d'ordre 4 : |G/<g>| = 8/4 = 2. Mais pour obtenir |Z| = 2, il me manque un sous-groupe de G distinct de C et <g> tel que |G/le sous groupe qu'on cherche| = 2. Qu'en pensez-vous ?

8. • Je ne vois comment justifier que i et j sont d'ordre 4...
Si i et j sont d'ordre 4, k = ij est d'ordre 4.
• On a i⁴ = 1 et i⁴ = -i² = 1 d'où i² = -1. On montrerait de même pour j et k.
• De i² = j² = k² = -1 on tire que i^-1 = -i et j^-1 = -j
Donc k² = -1
<=> k = -1. k^-1
<=> ij = - j^-1i^-1
<=> jijk^-1 = j(-j^-1i^-1)j^-1
<=> ji = -ij

9. Je ne vois pas du tout comment aborder la question ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

bridgslam

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Re : exercice groupes

Bonsoir

Z cyclique est une hypothèse, ce n'est pas parce-qu'il est centre de G qu'il l'est...
Je pense qu'il faut reprendre vos cours et les notions essentielles de base.

Ensuite l'épilogue de la question est basée sur les ordres des éléments par disjonction des cas:

- soit il existe un élément d'ordre 8... donc...
- soit G n'est pas cyclique, mais il existe au moins un élément d'ordre 4  -> c'est le b/ voir sa conclusion
- soit tous les éléments sont d'autres 2 , donc...

Les groupes sont très intéressants et conduisent à de forts jolis raisonnements, mais il ne faut pas éluder les bases:
ordre d'un groupe, d'un élément, théorème de Lagrange , définition du centre etc.
Par la suite quand on vous parle d'isomorphisme, il faut au moins déjà que ce soit un morphisme ... vous semblez aussi zapper
cela, pourtant essentiel.

Bonne soirée
A.

bridgslam

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Re : exercice groupes

Bonjour,

si g et g' sont deux éléments de G, comment pouvez-vous les écrire pour montrer que Z = G si Z est cyclique?
Dès lors |G/Z| = 1.

Pour vérifier si j'ai compris : Si on montre ceci, comme Z est toujours cyclique puisque c'est le centre de G, on montre que G/Z est cyclique et ne peut être que d'ordre 1 ?

Je ne comprends pas ce que vous écrivez, en rapport avec la première question j'imagine.
Vous devez montrer que si Z(G) est cyclique ( hypothèse) , G est abélien. Et je vous ai fourni pratiquement tout.

Dans la suite, quand vous évoquez des isomorphismes entre groupes, il faut justement les expliciter et le démontrer:
deux groupes finis de même cardinaux ne sont pas forcément isomorphes !

Prenez les choses par le bon bout, tranquillement, et tout ira bien.
Bon courage
A.