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Beubeunoit

Invité

Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

Bonjour,

Je suis en L3 physique et je me posais une question.

Comment montrer que Acos(wt)+Bsin(wt)=Dcos(wt+F) ?

Avec w un réel positif et t la variable.

Merci d'avance de vos réponses,
Benoit.

Glozi

Invité

Re : Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

Bonjour,

Traitons le cas où $A\neq 0$ ou $B\neq 0$ (sinon on a affaire à la fonction nulle).
Alors $A^2+ B^2>0$ et on peut écrire :
$f(t) := A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) = \sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\cos(\omega t) + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin(\omega t)\right).$

Posons $x= \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ et $y= \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}$, alors $x^2+y^2=1$ ainsi dans le plan euclidien, le point de coordonnées $(x,y)$ est sur le cercle trigonométrique (de rayon unité). Il existe donc un $\theta \in [0,2\pi[$ tel que $x=\cos(\theta)$ et $y=\sin(\theta)$.

Alors $f(t) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\omega t - \theta)$ (formule d'addition du cosinus)

Notons au passage que $D=\sqrt{A^2 + B^2}$ (même si $A=B=0$).

Bonne journée

Zebulor

Membre expert

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Re : Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

re,
pour compléter la réponse de GLozi,
ça me rappelle la solution générale du pendule simple..
tu as ceci : $f(t)=Acos(\omega t)+B cos(\omega t-\frac {\pi}{2})$ et dois pouvoir représenter les grandeurs $Acos(\omega t)$ et $B cos(\omega t-\frac {\pi}{2})$ par des vecteurs orthogonaux sur un diagramme de Fresnel. De sorte que la somme de ces derniers est un vecteur dont la norme est donnée par Glozi (Théorème de Pŷthagore).. De même $F$ (ou le $\theta$ précédent) peut s'exprimer en fonction d'autres données..

Dernière modification par Zebulor (31-10-2022 12:42:03)

Beubeunoit

Invité

Re : Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

Merci beaucoup pour ta réponse claire et rapide Glozi. J'ai compris maintenant.

Beubeunoit

Invité

Re : Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

Et merci aussi à Zebulor.

Zebulor

Membre expert

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Re : Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

re,
et je crois -à vérifier-  que $\theta=-arctan(B/A)$ ($\theta$ ou F)

$Acos(\omega t)$ et $B cos(\omega t-\frac {\pi}{2})$ sont représentés par des vecteurs de base d'un espace dit des "phases" .. quelque chose comme çà..

Dernière modification par Zebulor (31-10-2022 19:35:25)

Glozi

Invité

Re : Simplification d'une somme de deux fonctions trigos

Zebulor, tu me rappelles des choses ! On a $\cos(\theta) = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ de même $\sin(\theta) = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$, en particulier, pourvu que $A\neq 0$ alors $\tan(\theta)=B/A$, et donc $\theta \equiv \arctan(B/A) [\pi]$. Pour déterminer $\theta$ modulo $2\pi$ on peut regarder le signe de $A$. Et dans le cas $A=0$ il faut juste regarder le signe de $B$ pour savori si $\theta \equiv \pm \frac{\pi}{2} [2\pi]$.