Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

continuité

Bonjour,

Je souhaite étudier la continuité de l'application [tex]f[/tex] définie par [tex]f(x,y)=x^2y^2ln(x^2+y^2)[/tex] pour tout [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex] et [tex]f(0,0)=0[/tex].

Bon, clairement f est continue en tout point [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex].

Pour l'étude en [tex](0,0)[/tex], j'ai essayé des majorations de [tex]|f(x,y)|[/tex] pour voir si l'on avait continuité.
En particulier, on a que [tex]|f(x,y)|=x^2y^2ln(x^2+y^2)\le \|(x,y)\|_2^4ln(x^2+y^2)[/tex]

Je ne pense pas pouvoir aller plus loin. Est-ce que je manque un truc ?
Du coup, j'essaye de montrer que f n'est pas continue en [tex](0,0)[/tex].
Pour cela, j'ai [tex]f(x,x)=x^4ln(2x^2)\to -\infty[/tex] lorsque [tex]x\to 0[/tex], donc [tex]f[/tex] n'est pas continue en [tex](0,0)[/tex].

Est-ce correct ? Merci !

Dernière modification par Vincent62 (31-10-2022 09:58:09)

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : continuité

Bonjour,

Tu peux passer en coordonnées polaires pour voir ce qu'il se passe en (0,0).

Glozi

Invité

Re : continuité

Bonjour,
Je crois que $\lim_{y\to 0^+} y\text{ln}(y)=0$. Du coup à ta place je vérifierais la limite de $f(x,x)$.
Précédemment tu as majoré $(xy)^2$ par $(x^2+y^2)^2= \Vert (x,y) \Vert_2^4$. Tu peux également remarquer que dans le log la quantité étudiée est $x^2+y^2 = \Vert (x,y)\Vert_2^2$.

Bonne journée

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : continuité

Bonjour Vincent,
$x^4ln(2x^2)=x^4ln(x^2)+x^4ln(2)=2x^4ln(x)+x^4ln(2)$
Par composition de fonctions sachant que  $\lim\limits_{x \to 0} xln(x)=0$ (ce qui peut se montrer par changement de variable de mémoire de lycéen en posant $x=e^{-t}$ puis faisant tendre $t$ vers $+\infty$ -l'exponentielle tendant très vite vers 0- ) la réponse à ta question finale est négative..

Mais je vois que Glozi a dégainé avant moi..

Bonne journée

Dernière modification par Zebulor (31-10-2022 10:28:10)

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 185

Re : continuité

Bonjour tout le monde,

J'ai essayé les coordonnés polaires, ce n'est pas le plus efficace, je trouve. Je penserais plutôt pour notre bonne norme $\| .\|_{\infty}$, et on trouve que la fonction est bien continue.

Par ailleurs, $|f(x, y) | = x^2y^2 |\ln(x^2 + y^2) |$ (il ne faut pas oublier la valeur absolue du log !), et $\lim_{x \rightarrow0} x \ln(x) = 0$, donc $\lim_{x \rightarrow0} x^2 \ln(2x^2) = 0$

E.

Gui82

Membre

Inscription : 03-08-2022

Messages : 126

Re : continuité

Personnellement, je trouve que les coordonnées polaires sont très efficaces dans ce genre de cas : on pose [tex]\tilde{f}(r,\theta)=f(r \,\mathrm{cos}\theta,r \,\mathrm{sin}\theta)=2r^4\mathrm{cos}^2\theta\,\mathrm{sin}^2\theta\,\mathrm{ln}(r)[/tex]
On a [tex]|\tilde{f}(r,\theta)| \le 2r^4|\mathrm{ln}(r)|\underset{r\to 0}{\longrightarrow}0 \,\,\, \forall \theta \in [0,2\pi][/tex], ce qui permet de conclure (f est continue en (0,0)).

Dernière modification par Gui82 (31-10-2022 10:59:02)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : continuité

Bonjour,

On peut aussi se ramener à une seule variable qui tend vers 0 en voyant que $x² + y² \ge sup ( x², y²)$.

A.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : continuité

Bonjour tout le monde,

Dans ce genre de cas, lorsque l'on passe à côté d'une telle évidence, on se pose des questions sur sa capacité à faire des mathématiques.
J'ai honte.
Merci à tous et toutes (?) pour vos remarques constructives.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : continuité

Bonsoir,
@Vincent62 : il n y a pas pourtant pas à avoir honte...et ce n est pas parce que tu ne vois pas les évidences que tu es perdu pour les maths !
Question de techiques, méthodes.. par exemple si tu ne sais plus ceci [tex]f(x,x)=x^4ln(2x^2)\to 0[/tex] quand $x \to 0$, tu peux voir ce que ca donne avec un nombre "proche de 0" par exemple $x=10^{-3}$
Ce qui donne $10^{-12}*ln(2*10^{-6})=10^{-12}*(ln(2)-6*ln(10))$. Ce n'est pas une démonstration formelle mais tu peux tout de suite conclure sur la limite précédente.
Quant à la convergence vers 0 un prof nous disait : "quand vous ne savez pas quoi faire, majorez  ! ...
Fais toi confiance..

Dernière modification par Zebulor (02-11-2022 17:41:26)