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Vincent62

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Variaiton d'une suite

Bonjour,

Dans une preuve du théorème d'approximation étagée, nous sommes amenés à considérer la suite [tex]e_n(x)=2^{-n}[2^n min(f(x),2^n)][/tex], où [tex][.][/tex] est la partie entière, et f une fonction étagée positive.

Il est demandé de montrer que la suite (e_n) est croissante. Pour ce faire, il est proposé de démontrer que :
[tex]e_n(x)=2^{-n}[2^n min(f(x),2^n)]\le 2^{-(n+1)}[2^{n+1} min(f(x),2^n)][/tex], car [tex]2^{-(n+1)} [2^{n+1} min(f(x),2^n)]\le e_{n+1}(x)[/tex].

C'est ce "car [tex]2^{-(n+1)}[2^{n+1} min(f(x),2^n)]\le e_{n+1}(x)[/tex]" que je ne vois pas.

J'essaye de le démontrer par disjonction des cas.
1er cas : si [tex]min(f(x),2^n)=f(x)[/tex], alors [tex]f(x)\le 2^n\le 2^{n+1}[/tex] et donc [tex]min(f(x),2^{n})\le min(f(x),2^{n+1})[/tex] et nous avons le résultat.

2ème cas : si [tex]min(f(x),2^n)=2^n[/tex], alors [tex]min(f(x),2^n)\le f(x)[/tex] et [tex]f(x)\ge 2^n[/tex], et je ne tourne en rond.

Avez-vous une idée ?

Merci

Dernière modification par Vincent62 (29-10-2022 05:31:41)

Glozi

Invité

Re : Variaiton d'une suite

Bonjour

dans le deuxième cas :
$m_n(x) := min(f(x), 2^n)=2^n$ donc $2^n \leq f(x)$
Maintenant, ou bien $f(x)>2^{n+1}$ et alors $m_n(x) = 2^n \leq 2^{n+1} = m_{n+1}(x)$, ou bien $f(x) \leq 2^{n+1}$ et donc $m_{n+1}(x) = f(x) \geq 2^n = m_n(x)$ (car on est dans le deuxième cas)

Bonne journée

Vincent62

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Re : Variaiton d'une suite

Merci Glozi, c'est très clair :)