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TEM MAB

Invité

Probabilité de tirage au sort complexe

Bonjour je vous explique mon problème:
Ma conjointe va devoir choisir parmis une liste de poste. Il y a 142 personnes et donc 142 postes. L’ordre de choix de poste se fait par classement, elle est 71/142 donc la 71 eme à choisir son poste. En partant du principe que le choix des personnes avant est purement aléatoire j’aimerai connaître notre probabilité d’avoir le Xeme choix (on a donc classé 71 postes par ordre de préférence).
Avoir le premier est peu probable puisqu’il faudrait que les 70 choix avant le notre ne soit pas le premier poste. Mais avoir le 71 eme aussi puisqu’il faudrait que tous les choix précèdent soient dans le top 70 de notre liste.
J’ai beau me retourner le cerveau, impossible de calculer ça.
Quelqu’un aurait il une idée ?
Merci

Zebulor

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonjour,

.. j’aimerai connaître notre probabilité d’avoir le Xeme choix (on a donc classé 71 postes par ordre de préférence).

je dirais une chance sur deux...

TEM MAB

Invité

Re : Probabilité de tirage au sort complexe

? Pouvez-vous m’expliquer pourquoi ? Je ne veux pas savoir si j’aurais un poste de ma liste, c’est sûr puisqu’il y a 70 personnes avant moi et que j’ai fais 71 choix. Mais quel est la probabilité d’avoir le 2eme, le 35eme ou le 65eme

Glozi

Invité

Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonsoir,

Si $X$ est la variable aléatoire qui donne le numéro de vœu obtenu moi je trouve :
$\mathbb{P}(X=k) = {{N/2-1} \choose {k-1}}(k-1)! \frac{(N-(k-1))!}{N!} \frac{N/2+1}{N-(k-1)}.$ (il y a peut être des simplifications...)

où $k\in\{1,2,\dots,N/2\}$. Ici $N=142$.

En notant $Z_1,Z_2...$ le choix obtenu par la première, deuxième etc... personne.
Alors la preuve commence par :
$$\mathbb{P}(X=k) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{1\leq i_1,i_2,\dots,i_{k-1}< N/2}\{Z_{i_1}=1\}\cap \{Z_{i_2}=2\}\cap \dots \{Z_{i_{k-1}} = k-1\}\cap \bigcap_{1\leq j< N/2, j\neq i_\alpha}\{Z_j\neq k\}\right)$$

Puis on remarque que cette union est disjointe, elle s'écrit comme un somme de probabilités (qui sont toutes égales).

Bonne soirée

TEM MAB

Invité

Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Merci de ta réponse, il me manque pas mal de notions pour tout comprendre. Mais merci beaucoup d’avoir fait l’effort.

Zebulor

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Rebonsoir,
@Tem mab : Je relirai ton post#1 pour mieux comprendre ton sujet.
Quoi qu'il en soit tu peux voir que pour le premier voeu (numero de voeu égal à 1) , P(X=1)=36/71 soit très proche d'une chance sur deux..

Glozi

Invité

Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonjour
Je trouve l'exercice pas évident, quel niveau est-ce que tu as en proba/dénombrement, quels outils tu as à ta disposition ?

En gros la "grosse formule" que j'ai écrite se comprend de la manière suivante :

Pour obtenir $X=k$. Il faut :
- parmi les 70 personnes qui parlent avant moi, en choisir $k-1$, puis parmi ces $k-1$ l'une d'entre elle choisit le vœu $1$, une autre le vœu $2$ etc.. jusqu'au vœu $k-1$ (cela garantit que je n'obtiens pas un vœu mieux que $k$)
- à part ces $k-1$ premières personnes choisies, il faut que les autres (il en reste $70-(k-1)$) ne choisissent pas le vœu $k$. (au total cela garantit que j’obtiens le vœu $k$)

Par exemple $X=2$. Il faut : l'un des 70 candidats choisi le vœu 1. Les autres ne choisissent pas le vœu 2.

Il ne faut pas oublier que vœu 1, vœu 2, vœu 3 se rapporte à un ordre dans ton classement personnel qui n'a strictement aucune incidence sur les vœux des autres candidats. Aussi la proba de l'évènement : "le 36eme candidat choisit le vœu 1 et les 69 autres ne choisissent pas le vœu 2" est la même que la proba de l'évènement "le 1er candidat choisit le vœu 1 et que les 69 autres ne choisissent pas le vœu 2". (tu peux calculer ces probas pour t'en convaincre).

Bonne journée

bridgslam

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonsoir,

Si je comprends bien, votre conjointe choisirait si c'est possible en priorité le1, sinon le 2 etc.
Si X-1 > 70, un des postes précédents le X ne sera pas pourvu, et donc la probabilité qu'elle opte pour le X est nulle ( un des X-1 autres sera choisi).
En supposant équiprobables les $\binom{142}{70}$  parties à 70 éléments parmi 142 (correspondant aux choix faits, aussi possibles les uns que les autres) , il reste à dénombrer(dans le cas ou $X-1 \le 70$ ) combien de parties à 70 éléments contiennent la partie { 1,2, ..., X-1}
mais pas le poste  X. Dans les autres cas la probabilité d'avoir X pour votre conjointe est nulle, soit encore parce-que un poste précédent X n'est pas pourvu, soit parce-que X lui-même  a été choisi.
Sauf erreur il y a $\binom {142-X} {70 - X + 1) }$ telles parties.

En résumé:
P( conjointe ->  X) = 0 si  X-1 > 70.
Sinon P( conjointe ->  X) = $\binom {142-X} {70 - X + 1) }   /  \binom{142}{70} $ .

A.

Dernière modification par bridgslam (30-10-2022 06:09:47)

bridgslam

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonjour,

Contrairement à ce qui a été pressenti, la probabilité que votre conjointe ait le premier poste vaut 0,507042, à savoir
C(141,70)/C(142,70). Un espoir correct donc.
C'est normal qu'en tirant au hasard une partie à 70 élémentd parmi 142, il est assez probable que le 1 ne soit pas dedans.
Par-contre avoir le 71 vaut quasi 0.
Ma calculette n'affiche pas la première décimale non nulle.

A.

Dernière modification par bridgslam (30-10-2022 06:57:32)

Zebulor

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

re,

Avoir le premier est peu probable puisqu’il faudrait que les 70 choix avant le notre ne soit pas le premier poste.

Contrairement à ce qui a été pressenti, la probabilité que votre conjointe ait le premier poste vaut 0,507042, à savoir
C(141,70)/C(142,70). Un espoir correct donc.

Autre manière de voir :
Pour le premier voeu ne peut on pas simplement constater que 70 postes ni plus ni moins ont déjà été pris, et qu'il en reste encore 72 possibles parmi les 142 initiaux ?
D'où une probabilité correspondante 72/142=36/71 $\approx 0,507042$

bridgslam

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonjour,

J'ai simplement appliqué la réponse générale au cas particulier du poste 1, m'étant déjà creusé les méninges pour le cas général.
La question du premier post concerne le cas général, d'où cette réponse rapide pour le cas du  poste 1.
Ta remarque sensée conforte donc le résultat global ( sans doute ).

Si tu as un raisonnement plus rapide pour le cas X général, je suis preneur.

A.

bridgslam

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Re-bonjour,

Si on veut raisonner directement sur le cas du poste 1, on peut aussi dire que l'évènement contraire pour la conjointe est qu'un des 70 mieux classés ait choisi ce poste-là, ce qui donne une probabilité de 70x 1/142. Le complément à 1 redonne ce qu'on doit trouver.

Bonne fin de journée.

A.

Zebulor

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

rebonjour,
pour le cas général je n'ai pas d'autre idée...

Pour obtenir $X=k$. Il faut :
- parmi les 70 personnes qui parlent avant moi, en choisir $k-1$, puis parmi ces $k-1$ l'une d'entre elle choisit le vœu $1$, une autre le vœu $2$ etc.. jusqu'au vœu $k-1$ (cela garantit que je n'obtiens pas un vœu mieux que $k$)
- à part ces $k-1$ premières personnes choisies, il faut que les autres (il en reste $70-(k-1)$) ne choisissent pas le vœu $k$. (au total cela garantit que j’obtiens le vœu $k$)

Son analyse demande pas mal de réflexion..
Ca ne change pas grand chose sur le calcul mais je crois que le reste dont parle Glozi est $71-(k-1)$.
parce que si $k=1$ on obtient que 70+70+la conjointe de Tem Mab=141 personnes au lieu de 142..

Dernière modification par Zebulor (30-10-2022 16:29:05)

Glozi

Invité

Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Bonjour,

Zebulor, pour $k=1$ il faut bien que $70 - (k-1)=70$ candidats ne choisissent pas le voeu $k=1$ et c'est bien la seule condition pour avoir son voeu 1, si je ne m'abuse.

Plus généralement, s'il y a $N$ candidats au total (et donc $N$ poste à pourvoir). Que la conjointe a reçu le classement $r$. Avec $1\leq r \leq N$. Notons $X$ la variable aléatoire à valeurs dans $\{1,\dots,k\}$ qui représente le voeu obtenu.

Nous avons, pour $k\in\{1,\dots,r\}$
$$\mathbb{P}(X=k) = \frac{N-k \choose {r-k}}{N \choose {r-1}}.$$

En raisonnant comme bridgslam, pour savoir le voeu qu'on va obtenir il faut regarder uniquement le résultat des voeus des candidats avant nous (il y en $r-1$).

Il y a ${N \choose {r-1}}$ ensembles possibles pour les voeus des $r-1$ premiers candidats (ce sont des sous ensembles de $\{1,\dots,N\}$ à $r-1$ éléments. (tous ces ensembles sont équiprobables).
Pour avoir $\{X=k\}$, il faut être tombé sur un sous ensemble à $r-1$ éléments de $\{1,\dots,N\}$ qui contient $\{1,\dots, k-1\}$ et qui ne contient pas $k$. Il y a une bijection entre ces sous ensembles et les sous ensembles à $r-k$ éléments de $\{k+1,\dots, N\}$. (La bijection consiste juste à regarder ce qui se passe hors de $\{1,\dots, k\}$).

Il y a donc ${{N -k} \choose {r-k}}$ tels sous ensembles. Soit la probabilité annoncée.

(dans notre cas $N=142$ et $r=71$).

Notons par exemple que si $r=N$ (on est dernier du classement), alors $X$ suit la loi uniforme sur $\{1,\dots N\}$.
Et si $r=1$ (on est premier du classement) alors $X$ vaut $1$ avec probabilité $1$.

Bonne journée

Zebulor

Membre expert

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Re : Probabilité de tirage au sort complexe

re,
merci pour ta réponse argumentée Glozi !

Zebulor, pour $k=1$ il faut bien que $70 - (k-1)=70$ candidats ne choisissent pas le voeu $k=1$ et c'est bien la seule condition pour avoir son voeu 1, si je ne m'abuse.

Oui car en effet : $70-(k-1)+(k-1)=70$ élémentaire mon cher Watson .. :-) on prend bien en compte les voeux des 70 personnes précédentes et non les suivantes

J'ai une question sur le point suivant plus formel :

Notons $X$ la variable aléatoire à valeurs dans $\{1,\dots,k\}$ qui représente le voeu obtenu.

Nous avons, pour $k\in\{1,\dots,r\}$
$$\mathbb{P}(X=k) = \frac{N-k \choose {r-k}}{N \choose {r-1}}.$$

@Glozi : pourquoi ne pas écrire plus directement que $X$ est la variable aléatoire à valeurs dans $\{1,\dots,r\}$

Dernière modification par Zebulor (31-10-2022 08:31:47)

Glozi

Invité

Re : Probabilité de tirage au sort complexe

Oui en effet Zebulor, tu as raison : j'ai écrit $X$ variable aléatoire à valeur dans $\{1,\dots,k\}$ mais je voulais dire $\{1,\dots,r\}$. ($k$ n'était même pas défini à ce moment là !)
Merci !