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Zerhouni

Invité

Adhérence et intérieur d’un sous-espace vectoriel

Bonjour, je ne comprend pas le corrigé de la question 2 de cet exercice, si quelqu'un pourrais m'expliquer ce serait sympa.

Glozi

Invité

Re : Adhérence et intérieur d’un sous-espace vectoriel

Bonjour,

Je te décompose la preuve proposée en idées successives :
- Par hypothèse $V$ contient une boule ouverte centrée en un certain $a$.
- Puisque $V$ est un espace vectoriel, alors de cette boule centrée en $a$, on montre que $V$ contient une boule centrée en $0$ (ça nous simplifie la vie)
- Si $x\in E$ arbitraire, alors quitte à diviser $x$ par un scalaire $C>0$ assez grand (qui dépend de $x$), alors $\frac{x}{C}$ est dans cette fameuse boule centrée en $0$.
- Puisque $V$ est un espace vectoriel, si $\frac{x}{C}\in V$ alors $x=C\frac{x}{C}\in V$.

Comme souvent, il faut faire des dessins pour comprendre (et apprendre à faire des dessins si on n'en a jamais fait).
Comme souvent, quand on débute avec les espaces vectoriels, il faut se demander quelle est la nature de chaque variable qu'on manipule (ici $x$ est un vecteur, $C$ est un scalaire, $a$ est un vecteur, $\Vert x \Vert$ est un scalaire etc...)

Bonne journée

Zerhouni

Invité

Re : Adhérence et intérieur d’un sous-espace vectoriel

Merci beaucoup, c'est beaucoup plus compréhensible. Je comprends enfin :)