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Bolhcdnmed

Invité

Limites et fonctions réciproques

Soit g une fonction réciproque d'une fonction f, comment peut-on trouver leS limites de g à l'aide de f ?
Merci beaucoup.

Glozi

Invité

Re : Limites et fonctions réciproques

Bonsoir,

Sans aucune hypothèse ça va être compliqué, j'imagine que tu traite du cas de fonctions continues et qui plus est de fonctions de la variable réelle.

Dans ce contexte nous avons le résultat suivant :
$\textbf{Proposition :}$
Si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to J\subset \mathbb{R}$ est une fonction continue bijective de réciproque $g : J \to I$, alors les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) $J$ est un intervalle
2) $g$ est continue
3) si $f(x) \xrightarrow[x\to a]{} \ell$ alors $g(y) \xrightarrow[y\to \ell]{} a$ (ici $a\in \overline{I}$ et $\ell \in \overline{J}$)

Exemple : $\exp : \mathbb{R} \to ]0,\infty[$ est une fonction continue qui réalise une bijection entre intervalles de $\mathbb{R}$, $\text{ln}$ est sa fonction réciproque. La proposition dit par exemple que puisque $\exp(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{} 0$ alors $\text{ln}(y)\xrightarrow[y\to0]{} -\infty$.

Je te laisse prouver cette proposition en toute généralité (normalement c'est du cours) un résultat préliminaire peut être de montrer que sous ces hypothèses alors $f$ est strictement monotone.

Les hypothèses sur la continuité de $f$ et sur le fait que $I$ est un intervalle sont cruciales.

Un contre exemple si $I$ n'est pas un intervalle :
Si $I = [0,1]\cup ]2,3]$, et $$f(x) := \left\{\begin{array}{cc} x &\text{ si } x\in [0,1] \\
x- 1& \text{ si } x \in ]2,3]\end{array}\right.$$
Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=[0,2]$ (trace le graphe de $f$ ça sera plus clair).
Notons $g : J \to I$ la fonction réciproque de $f$. Alors $g$ n'est pas continue sur $J$ (trace son graphe pour bien comprendre). En effet, on a un problème en $1$. $g(y) \xrightarrow[y\to 1^-]{} 1$ mais $g(y) \xrightarrow[y\to 1^+]{} 2$. Pourtant $f$ était bien une fonction continue sur $I$ et en particulier $f(x) \xrightarrow[x\to 1]{} 1$.

Bonne soirée

Bolhcdnmed

Invité

Re : Limites et fonctions réciproques

Merci beaucoup glozi , mais je sais que si une fonction f réalise une bijection de I vers J, alors g est continue sur J et a le même sens de variations que f ce qui est contradictoire avec votre exemple.
Pouvez vous m'aider avec des explications ?
Merci beaucoup.

Glozi

Invité

Re : Limites et fonctions réciproques

Bonjour,

Ce que tu affirmes est faux en général. Comme je l'ai dit une hypothèse fondamentale est que $I$ doit être un $\textbf{INTERVALLE}$ (ce qui n'est du coup pas le cas dans mon contre exemple).

Autre contre exemple :
$f : [0,1]\cup [2,3[ \to [0,2]$ définie par $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} x & \text{ si } x\in [0,1] \\
4-x & \text{ si } x\in [2,3[
\end{array}\right.$

ici $f$ réalise une bijection continue entre deux parties de $\mathbb{R}$ mais n'est même pas strictement monotone...
Son inverse $g$ ne sera pas continue en $1$. (trace les graphes de $f$ et $g$ pour voir le problème).

Pourquoi ? car $[0,1]\cup [2,3[$ n'est pas un intervalle.

Je pense qu'il faut que tu revois ta définition d'un intervalle et les hypothèses de tes théorèmes.

Bonne journée

yas Ak

Invité

Re : Limites et fonctions réciproques

très bonne explication Glozi. merci