Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pentium mix

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Continuité des fonctions

Bonsoir a vous
S'il vous plait je n'arrive pas a montrer que la fonction suivante est continue
On pose U={(Cosa ; Sina);  a€]-π;π[}
Et
f:U------------------------>]-π;π[
  (Cosa;Sina)-------> a

Merci d'avance

Fred

Administrateur

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Re : Continuité des fonctions

Bonsoir,

  Ce n'est pas si facile si on le fait complètement à la main.
Je vais montrer la continuité en un point $(\cos(a),\sin(a))$ avec $a\in ]-\pi/3,\pi/3[$, les
autres cas se démontrent à peu près de la même façon. Soit $(a_n)$ une suite de $]-\pi,\pi[$ telle que
$(\cos(a_n),\sin(a_n)$ converge vers $(\cos(a),\sin(a)$. Alors, à partir d'un certain rang, $\sin(a_n)$ doit
être dans $[-\sqrt3/2,\sqrt 3/2]$ et donc $a_n$ ne peut être que dans $]-\pi/3,\pi/3[$ ou dans
$]-\pi,-2\pi/3[$ ou dans $]2\pi/3,\pi[$. Mais $\cos(a_n)$ doit être positif, ce qui fait que $a_n$ ne
peut être que dans $]-\pi/3,\pi/3[$.
On peut ensuite utiliser l'égalité des accroissements finis, dont une conséquence est que si $a$ et $a_n$
sont dans $]-\pi/3,\pi/3[$, alors
$$|\sin(a)-\sin(a_n)|\geq \frac 12|a-a_n|.$$
On peut alors conclure....

F.

pentium mix

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Re : Continuité des fonctions

Bonsoir,

  Ce n'est pas si facile si on le fait complètement à la main.
Je vais montrer la continuité en un point $(\cos(a),\sin(a))$ avec $a\in ]-\pi/3,\pi/3[$, les
autres cas se démontrent à peu près de la même façon. Soit $(a_n)$ une suite de $]-\pi,\pi[$ telle que
$(\cos(a_n),\sin(a_n)$ converge vers $(\cos(a),\sin(a)$. Alors, à partir d'un certain rang, $\sin(a_n)$ doit
être dans $[-\sqrt3/2,\sqrt 3/2]$ et donc $a_n$ ne peut être que dans $]-\pi/3,\pi/3[$ ou dans
$]-\pi,-2\pi/3[$ ou dans $]2\pi/3,\pi[$. Mais $\cos(a_n)$ doit être positif, ce qui fait que $a_n$ ne
peut être que dans $]-\pi/3,\pi/3[$.
On peut ensuite utiliser l'égalité des accroissements finis, dont une conséquence est que si $a$ et $a_n$
sont dans $]-\pi/3,\pi/3[$, alors
$$|\sin(a)-\sin(a_n)|\geq \frac 12|a-a_n|.$$
On peut alors conclure....

F.

Merci bien
Moi j'avais un peu pensé a passé par la fonction inverse puisqu'elle est continue mais malheureusement je n'ai pas un résultats qui implique la continuité de la fonction réciproque

Grand merci
Bonjour