Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Karami

Invité

Justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Bonjour, comment justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle ? Quelles sont les méthodes quand doit utiliser ?
Merci beaucoup .

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Bonjour,

  Très souvent, on justifie qu'une fonction est dérivable en disant qu'il s'agit de sommes, de produits, de quotients, de composées de fonctions dérivables. Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
  Bien sûr, c'est quelque chose de très général que je dis là. Si tu donnais un exemple plus précis, on pourrait peut-être mieux te guider.

F.

Karami

Invité

Re : Justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Salut, est ce que toute somme, produit, quotient , composé de fonctions dèrivables sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I ?
Prenons par exemple la fonction
     $f(x)= \sqrt{x^2 - x} + x+2$. Et montrons qu'elle est dérivable sur $]-\infty;0[ $?
Merci beaucoup .

Dernière modification par yoshi (18-10-2022 11:00:16)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Bonjour,

  La première chose à te demander, ici, c'est l'ensemble de définition de ta fonction à cause de la racine carrée.
Mais si $x<0$, alors $x^2-x>0$ et il est légitime de prendre la racine carrée de ce nombre.
Pour la dérivabilité, pour faire proprement les choses, il faut introduire $u:]-\infty,0[\to \mathbb R$
définie par $u(x)=x^2-x.$ Alors $u$ est dérivable sur $]-\infty,0[$, et $u(]-\infty,0[)\subset ]0,+\infty[$.
Comme $\sqrt$ est dérivable sur $]0,+\infty[$, alors $x\mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $]-\infty,0[$.

Observe bien ici quand j'ai utilisé l'intervalle $]0,+\infty[$ et quand j'ai utilisé l'intervalle $]-\infty,0[$.

F.

yasminet

Invité

Re : Justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

bonjour comment peut on justifier la derivabilité dune fct composée

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Justifier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Bonjour ,

(fog (x+h) - fog(x))/h = (g(x+h)-g(x))/h  . (....).
On peut alors utiliser la continuité de g en x, pour pouvoir conclure.
On peut aussi utiliser les différentielles, ce qui est plus orthodoxe, et généralisable.

A.