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Vincent62

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Différentiabilité

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'application[tex] f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y)\to sin(x)+cos(y)[/tex] est différentiable.

Je réussi à le montrer en montrer que [tex]f[/tex] admet des dérivées partielles continues en tout point [tex](x,y)[/tex] de [tex]\mathbb{R}^2[/tex], mais n'y a-t-il pas plus simple ?

J'avais pensé à ceci : [tex]f(x,y)=g(x,y)+h(x,y)[/tex] avec [tex]g(x,y)=sin(x)[/tex] et [tex]h(x,y)=cos(y)[/tex], et on montre que [tex]g[/tex] et [tex]h[/tex] sont différentiables, mais finalement ça reviendrait à faire ce que j'ai fait juste au-dessus.

Bref, n'y a-t-il pas plus simple ici ?

Merci !

Eust_4che

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Re : Différentiabilité

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est le plus simple, mais tu peux toujours revenir à la définition d'une application différentiable. Autrement dit, tu peux démontrer qu'une application est différentiable en tout point $(x_0, y_0)$ de $\mathbb{R}^2$ en exhibant une application affine tangente en ce point, c'est-à-dire une application affine $u$ telle que $f - u$ soit négligeable devant la fonction numérique $x \mapsto \| (x - x_0, y - y_0) \|$. Dans le context qui est ici le notre, cela signifierait qu'il existe deux réels $a, b \in \mathbb{R}$ vérifiant la relation : pour tout $r > 0$, il existe un voisinage $V$ de $(x_0, y_0)$ dans $\mathbb{R}^2$ tel que, pour tout $(x, y) \in V$, on ait
\begin{equation}
\| \cos(x) + \sin(y) - \cos(x_0) - \sin(x_0) - a(x - x_0) - b(y - y_0) \| \leq r  \| (x - x_0, y - y_0) \|
\end{equation}
résultat qui est peut être plus naturel si on écrit
\begin{equation}
\| \cos(x_0 + h) + \sin(y_0 + h') - \cos(x_0) - \sin(x_0) - ah - bh \| \leq r  \| (h, h') \|
\end{equation}
où $h = x -x _0$ et $h' = y - y_0$. La dérivabilité des fonctions $\sin$ et $\cos$ te permet alors de conclure.

E.

Dernière modification par Eust_4che (15-10-2022 13:37:50)

Vincent62

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Messages : 314

Re : Différentiabilité

Bonjour Eust_4che,

Je vois, merci. On utilise l'inégalité triangulaire puis on applique l'inégalité des accroissements finis pour conclure et trouver ce fameux r.

Merci