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reda-av

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uniforme continuité

Bonjour, une question qui me fait vraiiiment mal à la tête ,

Si, pour tout n∈N, la fonction f est uniformément continue sur [n,n+1], alors f est uniformément continue sur R+.

c'est écrit dans un questionnaire que c'est faux et je ne sais pas pourquoi!!!!??

j'ai fais une petite démonstration
  cette fonction  est uniformément continue sur tout [n,n+1] donc il est continue sur tout segment de cette forme ce qui nous donne qu 'il est continue sur [0,n] pour tout n∈N par le théorème de HEINE il est uniformément continue sur [0,n] pour tout n∈N 
donc quelque soit x et y ∈R+ on peut les mettre dans un segment [0,n] et appliquer la continuité uniforme sur [0,n]

ET JE VOUS REMERCIE D AVANCE POUR LES REPONCES.

Fred

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Re : uniforme continuité

Bonjour,

  Si tu appliques l'uniforme continuité sur $[0,n]$, alors tu as la chose suivante :
$$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta(n)>0,\ \forall x,y\in [0,n],\ |x-y|<\delta(n)\implies |f(x)-f(y)|<\epsilon.$$

J'ai mis $\delta(n)$ pour insister sur le point que le $\delta$ que l'on construit ici dépend de $n$.

Toi tu voudrais prouver :

$$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,y\in [0,+\infty[,\ |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\epsilon.$$

Comment pourrais-tu construire ce $\delta$?
Si tu choisis $x$ et $y$ dans $[0,+\infty[$, et que tu dis qu'ils sont dans un intervalle de type $[0,n]$, alors
le $\delta$ que tu vas avoir va dépendre de $n$, donc de $x$ et $y$ puisque tu as choisi $n$ en fonction de $x$ et $y$.

Sinon, un contre-exemple à ta propriété est donnée par la fonction $x^2$, qui n'est pas uniformément continue sur $[0,+\infty[$.

Pour essayer de comprendre tout cela, tu peux regarder cette vidéo.

F.

reda-av

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Re : uniforme continuité

je vous remercie infiniment j'ai bien compris Fred