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Vincent62

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Bornitude de série

Bonjour,

On pose [tex]a_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}[/tex] et [tex]b_n=a_n-ln(n)[/tex].

J'essaye de montrer que pour tout [tex]n\ge 1[/tex], pour tout [tex]k\ge 0, 0\le b_n-b_{n+k}\le \frac{1}{n}[/tex].

Pour l'inégalité de gauche, j'ai démontré que pour tout [tex]n\ge 1, \frac{1}{n+1}\le ln(n+1)-ln(n)\le \frac{1}{n}[/tex] (*).
Cela m'a permis de démontrer que [tex](b_n)[/tex] était décroissante, et donc que [tex]b_n-b_{n+k}\ge 0[/tex].

C'est pour le membre de droite que c'est beaucoup plus compliqué.

J'ai essayé plein de trucs. Le plus prometteur étant celui-ci : j'ai remarqué que [tex]b_n-b_{n+1}=a_n-a_{n+1}+ln(n+1)-ln(n)=-\frac{1}{n+1}+ln(n+1)-ln(n)\le \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex] en utilisant (*).
Puis, dans mes rêves les plus fous, peut-être que [tex]b_n-b_{n+k}\le b_n-b_{n+1}[/tex], mais non, le destin en aura décidé autrement.

Ensuite, j'ai testé la méthode brute, en écrivant que : [tex]b_n-b_{n+k}=ln(n+k)-ln(n)-\sum_{i=n+1}^{n+k}\frac{1}{i}[/tex]
Puis, j'ai généralisé l'inégalité (*), en démontrant que [tex]\frac{k}{n+k}\le ln(n+k)-ln(n)\le \frac{k}{n}[/tex].
J'ai beau tourné ça dans tous les sens, je ne parviens par à démontrer le résultat.

Je dois manquer une évidence.
Pouvez-vous me mettre sur la piste ?

Fred

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Re : Bornitude de série

Salut,

  Je pense qu'il faut effectivement repartir de ton inégalité (que j'écris avec des $m$) :
$$\frac1{m+1}\leq \ln(m+1)-\ln(m)\leq \frac 1m.$$
J'écrirais bien cette inégalité pour $m=n$, puis pour $m=n+1$, puis pour $m=n+2$, jusque $m=n+k-1$ par exemple.
Puis je sommerais bien ces inégalités. Ce qui est génial, c'est qu'au milieu, c'est télescopique, et tu ne vas trouver
que $\ln(n+k)-\ln(n)$....

F.

Vincent62

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Re : Bornitude de série

Bonjour Fred,

pffff je l'avais commencé ce raisonnement, mais je n'avais pas abouti.
Arf c'est vraiment rageant !

Merci en tout cas, je posterai la solution sous peu.

Vincent62

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Re : Bornitude de série

Voilà ce je propose, avec ton indication : https://www.cjoint.com/doc/22_10/LJlkg5J4yp_bib.pdf

Dernière modification par Vincent62 (12-10-2022 03:18:28)

Fred

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Re : Bornitude de série

Re-

  Il y a un $n-k+1$ qui devrait être un $n+k-1$. La somme se simplifie avec la différence $a_{n+k}-a_n.$

F.

Vincent62

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Re : Bornitude de série

Merci Fred !