Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Moonspeech

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Unicité d’un sous-groupe

Bonjour à tous.

J’aimerais vous présenter le problème suivant :

On considère G un groupe fini et H un sous-groupe distingué d’ordre n et d’indice m tels que pgcd(m,n) = 1

Il s’agit de montrer que H est alors l’unique sous-groupe de G d’ordre n.

Pour se faire, on peut raisonner par l’absurde. On pose donc K un sous-groupe de G d’ordre n. Déjà, on peut considérer la surjection canonique
f : G —> G/H qui est un morphisme de groupe car H est distingué.

Au delà de ça, je ne sais pas comment exploiter les hypothèses de l’énoncé pour arriver à conclure.

En vous remerciant d’avance pour votre aide.

Glozi

Invité

Re : Unicité d’un sous-groupe

Bonjour,

Je pense que c'est une bonne idée de regarder ce morphisme. En particulier que peux-tu dire de $f(K)$ ? qu'elle est la nature de cet objet, quelles conditions vérifient son cardinal ? (Si tu ne vois pas pourquoi je te pose ces questions, demande toi à quoi devrait ressembler $f(K)$ si en effet $K=H$ et si $K\neq K$).

Bonne journée.

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Bonjour Glozi, merci pour votre réponse

En effet, j’ai omis de dire qu’on sait que f(K) est un sous-groupe de G/H et en particulier son cardinal |f(K)| divise le cardinal de G/H c’est-à-dire l’indice de H dans G c’est-à-dire m. C’est à partir de là que je bloque. Mais par exemple pour montrer que K est inclu dans H j’aurais aimé pouvoir raisonner sur le noyau de f.

Glozi

Invité

Re : Unicité d’un sous-groupe

Bonjour,

Oui $|f(K)|$ divise $m$. Je vous propose de montrer que $|f(K)|$ divise également $|K|$, c'est à dire $n$. Puis utiliser le fait que $n$ et $m$ sont premiers entre eux. À terme, il faudrait dire que $K\subset Ker(f)=H$ puis conclure par cardinalité.

Pour montrer que $|f(K)|$ divise $|K|$ une méthode possible est de montrer que $f(K)$ est isomorphe à un sous groupe de $K$, pourquoi et lequel ?

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Bonsoir,

je pense pouvoir être capable de me débrouiller pour rédiger la solution de mon problème. Cependant, je risque de vous décevoir car je n'arrive pas à montrer que f(K) est isomorphe à un sous-groupe de K, j'ai essayé de regarder avec les trois théorèmes d'isomorphismes mais aucun ne me paraît pertinent. J'ai ensuite regardé quels sont les sous groupes de K qu'on peut facilement construire et à part l'intersection de H et de K dont l'image par f est n'est clairement pas isomorphe à f(K), je ne connais pas grand chose d'autre. J'ai peur de ne pas connaître un certain théorème ou alors je suis aveugle à quelque chose. Je vous remercie en tout cas de m'avoir aidé, comme je l'ai déjà dis, à part ce point clé je pense être capable de rédiger la solution complète.

Glozi

Invité

Re : Unicité d’un sous-groupe

Par curiosité quels sont les 3 théorèmes d'isomorphismes que tu mentionnes ?

Moi je pense au fait suivant : si $g : G_1 \to G_2$ est un morphisme de groupes alors $g$ induit un isomorphisme de groupe $G_1/Ker(g) \to Im(g)$.
On peut appliquer cela pour $g$ qui est la restriction de $f$ au sous groupe $K$.

Bonne journée.

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Je pensais à ces théorèmes là :
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … oupes.html

Du coup vous mentionnez le 1er.

Glozi

Invité

Re : Unicité d’un sous-groupe

D'accord merci, oui en effet je pense au premier mais appliqué à $g = f_{|K} : K \to G/H$.

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Du coup, g : K --> f(K) étant un morphisme. Par le 1er thm d'isomorphisme, on a un isomorphisme entre K/(K inter H) et f(K). Or comme H est distingué, K inter H est lui-aussi distingué. Donc je suppose qu'on peut dire que K/(K inter H) est clairement un groupe de cardinal plus petit que |K|, il en suit que |f(K)| divise |K|.

Dernière modification par Moonspeech (09-10-2022 21:35:11)

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Ouais nn, je pense que suis encore allé trop vite sur la fin finalement T_T

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

J'ai envie de pleurer parce que je viens de voir qu'il y a une solution alternative à ce problème ici :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

C'est exactement l'exercice 11.

Je vous remercie pour votre patience, je vais essayer d'approfondir la preuve qu'on a travaillé ensemble.

A bientôt

Glozi

Invité

Re : Unicité d’un sous-groupe

Oui en fait c'est moi qui me suis mal exprimé, on sait que $f(K)$ est isomorphe à $K/Ker(g)$. Or, j'avais dit que $f(K)$ était isomorphe à un sous groupe de $K$, mais en fait c'est plutôt isomorphe à un certain $\textbf{quotient}$ de $K$... désolé.
Mais la suite de l'argument ne change pas car un groupe quotient de $K$ est un groupe dont le cardinal divise celui de $K$.

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Oui car |K/K inter H| c'est l'indice de K inter H dans K et dons par Lagrange il divise |K|. Ok, je vais essayer de rédiger une solution complète dans la journée pour ceux que ça intéresse.

Moonspeech

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Re : Unicité d’un sous-groupe

Bonjour à tous, voici donc la solution complète :

Soit K un sous-groupe d'ordre n. On pose f : G --> G/H la surjection canonique
f est un morphisme de groupe car H est distingué. De plus f(K) est un sous-groupe de G/H donc |f(K)| divise |G/H|.
Donc |f(K)| divise l'indice de H dans G c'est-à-dire m.

De plus |f(K)| divise n. En effet, si on considère la restriction f à K qu'on peut noter g. Alors g étant toujours un morphisme, il induit par le 1er théorème d'isomorphisme, un isomorphisme entre K/(K inter H) et f(k) car K inter H est le noyau de g et f(k) son image. (K inter H est un sous-groupe distingué de K car H est distingué). Par le théorème de Lagrange son indice dans K qui est |K/K inter H| divise |K|. On a donc bien |f(K)| divise n.

Or, par hypothèse on a pgcd(m,n) = 1 donc |f(K)| divise 1 donc f(K) est réduit à l'élément neutre de G/H. Donc K est inclus dans H.
Or, ces deux groupes ayant le même cardinal, on en déduit que K = H. 

Bonne journée :)

Dernière modification par Moonspeech (10-10-2022 12:07:33)