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Mahrty

Invité

Continuité sur un intervalle borné ouvert

Bonjour,
1/x n'est pas définie en 0 , est ce qu'on peut dire que f est continue sur ]0,1[ ?
Merci .

Glozi

Invité

Re : Continuité sur un intervalle borné ouvert

Bonjour,
Oui, si $I$ est un intervalle, alors $f$ continue sur $I$ signifie : pour tout $x\in I$, $f$ est continue en $x$. Ici en particulier $0\not\in I=]0,1[$ et donc il n'y a pas de problème.
Bonne journée

Mahrty

Invité

Re : Continuité sur un intervalle borné ouvert

Une autre question stp,
On sait que si f est continue sur [a,b] , alors f ([a,b]) = [m,M] ,
Est ce qu'on peut étendre ceci pour un intervalle ouvert ]a,b[ ?
Merci beaucoup.

Glozi

Invité

Re : Continuité sur un intervalle borné ouvert

Pas tout à fait de la même manière.
Si $f:]a,b[ \to \mathbb{R}$ est continue. Alors $f(]a,b[)$ peut être de la forme $[m,M]$, $]m,M]$, $[m,M[$ ou $]m,M[$, avec en plus $m$ et $M$ possiblement $-\infty$ et/ou $+\infty$ quand la borne est ouverte.

Par exemple dans ton cas : $f(]0,1[)=]1,\infty[$.

Il faut retenir cela sous la forme :

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

Mahrty

Invité

Re : Continuité sur un intervalle borné ouvert

S'il te plaît, dans cette vidéo
https://youtu.be/uhgdTTuNoSI
Pourquoi on n'a pas utilisé la monotonie,
Pourquoi f(]a,b[) = ] -00,+00[ sans utiliser la monotonie ?
Merci beaucoup.

Mahrty

Invité

Re : Continuité sur un intervalle borné ouvert

Je veux dire g(]a,b[) = ]-00,+00[

Glozi

Invité

Re : Continuité sur un intervalle borné ouvert

Je pense que tu parles de $g$ dans la vidéo. Déjà $g$ n'est peut être pas monotone car on n'a aucune hypothèse sur $f$. Par ailleurs $g$ est continue sur $]a,b[$ donc par mon message ci dessus on sait que $g(]a,b[)$ est un intervalle (l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle). Ensuite dans la vidéo il étudie le comportement de $g$ au voisinage de $a$ et $b$ et on voit que $g$ prend des valeurs arbitrairement proches de $+\infty$ et arbitrairement proches de $-\infty$. Quel est le seul intervalle qui contient des valeurs arbitrairement proche de $+\infty$ et $-\infty$ ? C'est $\mathbb{R}$ tout entier (une manière de le voir est de dire que tout intervalle qui n'est pas $\mathbb{R}$ est soit majoré soit minoré).

Je te conseille de revoir ton cours sur le théorème des valeurs intermédiaires et sur les intervalles de $\mathbb{R}$ si ce n'est pas clair.

Bonne journée