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Yasmina19

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Probabilités Loi d’un couple de VAR

Bonjour,
Je vous contacte au sujet de l’énoncé suivant :
Soient deux v.a.r X et Y de lois marginales
On a les tableaux des lois avec les proba suivantes :
P(X=-1)= 1/3
P(X=0)= 1/2
P(X=2)= 1/6

P(Y= 0)= 1/3
P( Y=3)= 2/3

On suppose que P(X=2, Y=3) = 2P(X=-1,Y=0)
Et on pose :
P(X=-1,Y=0)= a
1) donner la loi du couple (X,Y) en fonction de a; a peut il être quelconque?
2) calculer cov(X,Y). X et Y peuvent elles être indépendantes ?
Alors pour la 1) j’ai exprimé la loi du couple en fonction en fonction de a :
J’ai :
P(X=-1,Y=0)=a
P(X=-1,Y=3)=1/3- a
P(X=0,Y=0)=1/6+ a
P(X=0,Y=3)=1/3- a
P(X=2,Y=0)=1/6- 2a
P(X=2,Y=3)=2a
Après est ce que peut être quelconque je sais pas mais je dirai oui mais je sais pas comment le justifier
Ensuite pour la cov je sais que c’est :
E(X,Y)- E(X)E(Y)
Or pour calculer l’espérance du couple je dois trouver les valeurs des Probas du couple
Mais je ne sais pas vraiment comment faire
Merci d’avance
Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Probabilités Loi d’un couple de VAR

Bonjour,

C'est très bien pour la première question (je n'ai pas vérifié les calculs) mais c'est ce qu'il faut faire.

Tu dis que tu ne sais pas comment calculer les probas du couple mais pourtant tu viens de le faire ?

Pense à appliquer le théorème du transfert pour la fonction $f:(x,y)\mapsto xy$ :
$$\mathbb{E}[XY]= \sum_{x,y} \mathbb{P}(X=x \text{ et } Y=y)*xy.$$

Si deux variables aléatoires sont indépendantes alors $\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$ en particulier la covariance de $X$ et $Y$ est nulle. Je te conseille de calculer la covariance de $X$ et $Y$ en fonction de $a$. Si tu veux que $X$ et $Y$ soient indépendantes alors cette covariance doit être $0$, attention pour les eventuels $a$ tel que $\text{Cov}(X,Y)=0$, il faut quand même vérifier si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Vu l'énoncé c'est comme ça qu'il faudrait procéder. Après, si c'est juste l'indépendance qui t'intéresses, je pense qu'il y a plus simple en disant que si $X$ et $Y$ sont indépendante alors $a=\mathbb{P}(X=-1,Y=0) = \mathbb{P}(X=-1)\mathbb{P}(Y=0)=...$ puis de voir si pour cette valeur de $a$, $X$ et $Y$ sont ou non indépendantes.

Bonne journée.

Yasmina19

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Re : Probabilités Loi d’un couple de VAR

Re bonjour,
Oui je les ai calculés en fonction de a mais je me demandais si je devais avoir des valeurs numériques mais au final je dois calculer les espérances en fonction de a du coup c’est ça ?
Et je ne comprends pas trop le théorème de transfert de fonction
Et oui si x et y sont indépendantes cela implique que cov (X,Y)=0 mais pas la réciproque je pense que là est l’enjeu de la question
Merci de votre aide
Bonne journée

Dernière modification par Yasmina19 (08-10-2022 09:42:48)

Yasmina19

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Re : Probabilités Loi d’un couple de VAR

Re,
Du coup j’ai calculer la cov et j’ai trouvé 1 et j’ai conclus en disant que oui elles peuvent être indépendantes parce que comme je l’ai dis plus haut la cov différente de 0 n’implique pas forcément la dépendance
Cela vous semble t-il bon?
Merci
Bonne journée.

Glozi

Invité

Re : Probabilités Loi d’un couple de VAR

Tu te trompes dans le raisonnement (il y a confusion entre condition suffisante et condition necessaire).

$X$ et $Y$ independantes $\implies$ $Cov(X,Y)=0$.
La contraposée de cette propriété se lit donc
$Cov(X,Y)\neq 0$ $\implies$ $X$ et $Y$ non independantes.

Ou si tu preferes, par l'absurde si $X$ et $Y$ independantes, alors $Cov(X,Y)=0$. Or, tu as calculé que $Cov(X,Y)=1$ : absurde.

Yasmina19

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Re : Probabilités Loi d’un couple de VAR

Re,
Ah d’accord en fait c’est si Cov(X,Y)=0 elles ne sont pas forcément indépendantes du coup?
Merci

Glozi

Invité

Re : Probabilités Loi d’un couple de VAR

Oui c'est ça, $Cov(X,Y)=0$ est une condition nécessaire pour avoir $X$ et $Y$ indépendantes. Mais cette condition n'est pas suffisante.

Bonne journée