Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Abirmdr

Invité

Probabilités

Bonjour à tous le monde,
Je fais un exo de proba , le problème c'est que je sais pas si on est dans une situation d'ordre ou non , voici l'énoncé :
Le bureau d'un organisme comprend :
   3 secrétaires , 5 trésoriers , 2 présidents .
On constitue une commission de trois membres pris au hasard dans ce bureau .
1) quelle est la probabilité que cette commission comprenne un président,un trésorier et un secrétaire ?
L'ordre est important dans cette situation ou non ?

Glozi

Invité

Re : Probabilités

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu entends par "ordre" ? Quelles seraient les situations avec et sans ordre ?

As-tu des notions sur les coefficient binomiaux et leur interprétation en terme de dénombrement ?

Sinon aa-tu pensé à faire un arbre de probabilités ?

C'est peut être l'expression "trois membres pris au hasard" qui porte à confusion dans ce cas je vais essayer d'expliquer ce que cela signifie.

Ici, il faut imaginer que tu as 3+5+2=10 individus dans un panier, chacun a un métier mais tous les individus sont différents (ce n'est pas car deux personnes ont le même métier que se sont la même personne). On en prend 3 "au hasard" parmi les 10. Il y a plusieurs manière d'obtenir ce résultat :

$\textbf{Methode 1 :}$ on énumère tous les ensembles de $3$ employés possibles. Si tu connais les coefficients binomiaux tu dois savoir qu'il y a ${10 \choose 3} = 120$ tels tripletons (pour moi un un tripleton est un ensemble de trois éléments non ordonnés contrairement à un triplet qui lui est ordonné). Puis on lance un dé équilibré à $120$ faces, et on choisit le tripleton correspondant. Cette manière de faire est un peu fastidieuse, surtout pour calculer des probabilités.

$\textbf{Méthode 2 :}$ Une autre façon de faire est la suivante : on tire d'abord un individu parmi les $10$ possibles au hasard (uniformément), puis parmi les 9 restants j'en tire un autre (encore uniformément et indépendamment du résultat du premier tirage). Puis parmi les $8$ employés restants j'en tire encore un dernier uniformément au hasard (indépendamment des résultats précédents). Attention dans cette méthode l''aléatoire" n'est pas juste le résultat d'un lancé de dé avec $120$ faces. On lance d'abord un dé à $10$ $\textbf{puis}$ à $9$ $\textbf{puis}$ à $8$ faces, soit $10*9*8=720$ possiibilités. J'ai mis les $\textbf{puis}$ en gras, car on a bien une chronologie. (on ne peut pas d'abord tirer le dé à $9$ faces puis le dé à $10$ faces). Ainsi, à chaque résultat des $3$ dés, tu obtiens $3$ candidats mais obtenus dans un certain ordre. C'est ceci qui explique que avec la deuxième méthode on a un total de $720$ possibilités, alors qu'avec la première méthode on a seulement $120$ possibilités. ll faut faire attention que dans la deuxième méthode, plusieurs possibilités donneront à la fin le même tripleton d'employé sélectionnés. En effet, si les $10$ employés sont numérotés de $A$ à $J$, alors si je tire d'abord $F$ puis $E$ puis $A$, j’obtiens le même tripleton d'employés que si j'avais tiré $E$ puis $F$ puis $A$ (par exemple).

Pour calculer ta probabilité, choisis la méthode qui t'inspire le plus, et parmi toutes les possibilités que te donne ta méthode compte le nombre de fois ou tu tombe sur l'évènement qui t'intéresses. Puis tu divises par le nombre total de possibilités.

Remarque importante : le fait que $\mathbb{P}(\text{évènement})= \frac{\text{nombre de possibilités qui tombent dans l'évènement}}{\text{nombre total de possibilités}}$ n'est vrai que parce que dans les deux méthodes mentionnées ci dessus chaque tripleton (pour la première méthode) et chaque triplet (pour la deuxième méthode) est obtenu avec la même probabilité ($1/120$ pour la première méthode et $1/720$ pour la deuxième méthode), si mes souvenirs sont bons c'est ce qu'on appelle les évènements élémentaires.

Bonne journée.