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maths48

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montrer difféomorphisme

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire : https://www.cjoint.com/c/LJerCiZbvzF

Voici ce que j'ai fait :

1. Phi est de classe C¹ sur R car toutes ses fonctions coordonnées sont C¹ sur R, par composée de fonctions C¹ sur R. La CNS est que la jacobienne soit inversible.

2. J'ai pensé à montrer que phi est localement inversible et globalement injective. Je ne comprends pas l'indication cependant...

3. Il faut utiliser le théorème d'inversion locale (sa version globale) ?

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Roro

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Re : montrer difféomorphisme

Bonsoir,

J'aurai plutôt tendance à utiliser le théorème d'inversion globale dès la question 2. En effet, la question 1 te dit que tu as un difféomorphisme local, et si tu veux qu'il soit global, il ne te reste plus qu'à montrer l'injectivité (sur $\mathbb R$) de $\varphi$.

Pour cela tu peux en effet avoir besoin du théorème des accroissements finis : regarde ce que donne l'égalité $\varphi(x,y)=\varphi(z,t)$... tu devrais faire apparaitre des quantités de la forme $f(x)-f(z)$... et n'oublie pas que tu as l'hypothèse obtenue à la première question.

Roro.

Dernière modification par Roro (04-10-2022 19:38:14)

maths48

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Re : montrer difféomorphisme

Bonsoir, merci de votre réponse !

Voici ce que j'ai fait, qu'en pensez-vous ?
https://www.cjoint.com/c/LJfqOxfWUKF*

Pour la question 3 : Comment montrer de R² dans R² ? Dans le théorème il est question de phi(R²)... ? Je n'ai pas dû comprendre quelque chose...

Merci d'avance,
Bonne soirée

Dernière modification par maths48 (05-10-2022 17:53:28)

Roro

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Re : montrer difféomorphisme

Bonsoir,

Malheureusement, le line que tu donnes n'est plus disponible...

Pour la question 3, il "suffit" de montrer que $\varphi$ est subjective sur $\mathbb R^2$, c'est-à-dire que $\varphi(\mathbb R^2) = \mathbb R^2$.

Prend donc $(a,b)\in \mathbb R^2$ et essaye de prouver qu'il existe $(x,y)\in \mathbb R^2$ tel que $\varphi(x,y)=(a,b)$.

Une indication (avec la méthode que j'utiliserai mais qui n'est peut être pas la même que ce que tu vas faire) : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction $h$ définie par $h(x)=f(x)+g(a-x)$.

Roro.

Dernière modification par Roro (05-10-2022 19:39:57)

maths48

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Re : montrer difféomorphisme

Malheureusement, le line que tu donnes n'est plus disponible...

J'en ai fait un nouveau qui devrait marcher : https://www.cjoint.com/c/LJftju5tOlF

Ce que j'ai fait pour la question 3 avant d'avoir vu votre indication :
https://www.cjoint.com/c/LJftF1SV6xF

Qu'en pensez-vous ?

montrer que surjective sur R², c'est-à-dire que φ(R²) = R²

Ah oui, puisque si φ : E -> F, φ est surjective ssi Im(φ) = F, merci.

Bonne soirée

Roro

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Re : montrer difféomorphisme

Re-bonsoir,

Je suis d'accord avec la réponse à la question 2.

Pour la question 3, ce que tu as écrit n'a pas de sens. La fonction $\varphi$ est une fonction de deux variables : je ne sais pas ce que signifie "monotone" pour une telle fonction.
Ensuite, tu appliques le TVI mais tu n'as pas vérifié les hypothèses de ce théorème... regarde bien ce que te dit le TVI.

Roro.