Convergence d’une suite de fonctions

Yasmina19 · 02-10-2022 10:24:58

Bonjour,
je vous contacte pour cet énoncé:
étudier les CV de fn(x)= n^Alpha xe^-nx sur [0,1]. Calculer intégrale (fn(x)dx) sur 0,1 et étudier la cv de cette valeur. Peut-on permuter l’image et intégrale ?
J'ai étudié la CV simple ou pour moi elle tend vers 0, ce résultat est il bon?
Mais pour la CV uniforme je veux le sup de fn mais je ne sais pas comment la dériver pour ensuite résoudre fn’(x)=0 et après avoir la solution xn je la remplacerai dans la fonction pour avoir le sup et s’il tend vers 0 alors il y’a CV uniforme.
Mon raisonnement est il bon?
Après pour l’intégrale je vous avoue que je maitrise pas totalement mais j’imagine que je vais devoir faire une IPP

Roro · 02-10-2022 10:37:56

Bonjour,

Avant de répondre, il faudrait être sûr de ce qu'est la fonction $f_n$ car comme tu n'utilises pas Latex - ni même les parenthèses dans les opérations, il y a peut être une ambiguïté.
Est ce que $f_n(x) = n^\alpha \mathrm e^{-nx}$ ? ou est ce que $f_n(x) = n^\alpha x \mathrm e^{-nx}$ ? ou même $f_n(x) = n^\alpha x \mathrm e^{-n}x$ ?
Et qui est $\alpha$ ?

Dans tous les cas, la méthode que tu proposes semble bonne...

Roro.

Dernière modification par Roro (02-10-2022 10:39:49)

Yasmina19 · 02-10-2022 11:04:34

Re,
Désolée pour l’énoncé la bonne suite est la 2e que vous proposez.
Du coup je trouve qu’il y’a convergence uniforme car : la dérivée de fn(x)= n ^alpha ( e^-nx ( 1-x ) )
Donc xn= 1 et fn(1)= n^alpha.e^-n qui tend vers 0
Maintenant pour la deuxième partie de l’exo je bloque pour l’intégrale
Et alpha est un réel
Merci

Zebulor · 02-10-2022 11:25:22

Bonjour,
je me permets une petite incursion. Il y a une petite erreur dans ta dérivée.

Yasmina19 · 02-10-2022 11:58:46

Bonjour,
Ah oui? Je ne vois pas ou?
Voilà mon raisonnement =
F’n(x)= N^alpha ( 1. exp(-nx) - x(exp(-nx) )
N^alpha ( exp(-nx) - x(exp(-nx)) )
N^alpha ( exp(-nx) (1-x))
Merci de votre aide

Zebulor · 02-10-2022 13:31:10

re,
dans cette partie rouge ci dessous il te manque quelque chose..

Yasmina19 a écrit :

Ah oui? Je ne vois pas ou?
F’n(x)= N^alpha ( 1. exp(-nx) - x(exp(-nx) )

Et pour aller dans le sens de Roro dans le post suivant, il serait étonnant que la convergence uniforme ne dépende pas de $\alpha$

Dernière modification par Zebulor (02-10-2022 14:52:46)

Roro · 02-10-2022 13:35:29

Re-bonjour,

Une fois que tu auras corrigé la dérivée (merci Zebulor), il faudra bien que tu nous dises qui est $\alpha$... parce qu'il y a un moment où ça va devenir crucial !

Pour l'intégrale, tu avais vu juste : Intégration par parties...

Roro.

Yasmina19 · 02-10-2022 16:04:13

Re,
Pour la dérivée du coup je dirai
Qu’elle est égale à :
N^alpha (exp (-nx) (1-nx) )
Et sur alpha j’ai pas d’informations à part que c’est un réel et qu’il est la puissance de n
Merci

Yasmina19 · 02-10-2022 16:07:38

Du coup oui j’arrive à une convergence uniforme qui dépend de alpha selon qu’il soit égal inférieur ou supérieur à 2
Mais du coup pour l’intégrale je bloque vraiment
Merci d’avance

Zebulor · 02-10-2022 17:05:59

re,

Bonne idée de faire une IPP.
Tu n'as que deux possibilités de choix d'IPP, sachant que la fonction à intégrer dans ton IPP doit être idéalement la plus simple possible :
$\int_0^{1}\,u*dv=[uv]-\int_0^{1}\,v*du$, du vaut 1 ici...
Qu'est ce qui te bloque?
Une autre chose m'intrigue: comment as tu trouvé 2 ?

Dernière modification par Zebulor (03-10-2022 05:53:07)

Yasmina19 · 03-10-2022 10:07:31

Rebonjour,
Pour le 2, c’était une erreur c’est un 1, parce que en gros j’ai calculé la dérivée puis la racine est = 1/n

Donc j’ai fais f(1/n) qui donne n^alpha-1/ e
Donc la convergence dépend de 1
Apres pour l’intégrale j’ai u= X et v’= exp(-nx) mais en fait le n^alpha devant m’embête je le sors devant ? Ou je le laisse ?
Merci

Zebulor · 03-10-2022 10:44:27

re,
oui car tu peux sortir de l'intégrale tout ce qui ne dépend pas de la variable d'intégration $x$, ce qui facilite les calculs.

Cependant tu aussi peux garder ce $n^{\alpha}$ dans l'intégrale, mais dans le calcul de cette dernière il apparaît ensuite en facteur commun, alors autant le sortir d'emblée..

Dernière modification par Zebulor (03-10-2022 14:07:22)

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