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dylasse

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nature de série

Bonjour à tous !

Je sèche sur la question suivante :
(Un) est une suite strictement croissante à termes strictement positifs. Déterminer la nature de la série de terme général Vn = (Un+1 - Un)/Un.

Je me doute que la série (Vn) est de même nature que la suite (Un).

On vérifie déjà que (Vn) est à termes positifs.

Si (Un) converge (vers L) alors L > 0 et Vn ~ (Un+1 - Un)/L et cette série télescopique converge. Donc la série (Vn) converge.

Si (Un) diverge vers +infini alors...je bloque. On peut faire une disjonction de cas, si lim Vn <> 0 alors la série (Vn) diverge grossièrement. Mais si (Vn) tend vers 0, je ne trouve pas d'équivalent me permettant de conclure, je n'arrive pas à minorer la série pas une suite divergente, bref, je tourne en rond...

Si vous avez une idée ou la solution, merci beaucoup.

Glozi

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Re : nature de série

Bonjour,

Voici d'abord un indice pour une méthode possible qui donne un peu d'intuition : $u_{n+1}-u_n$ est l'analogue discret de la dérivation ainsi $v_n = \frac{u_{n+1}-u_n}{u_n}$ ressemble à une expression de la forme $\frac{f'}{f}$. "Sommer revient à intégrer" et donc on doit avoir un logarithme quelque part... (penser comparaisons séries-intégrales).

Voilà pour l'indice. J'écris ci dessous l'argument un peu plus en détail.

Nous avons pour chaque $n$ l'inégalité suivante (qui repose sur la croissance stricte et la stricte positivité de $u_n$).
$$\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}} \leq \int_{u_n}^{u_{n+1}} \frac{dt}{t} \leq \frac{u_{n+1}-u_n}{u_n} = v_n.$$
La deuxième inégalité se réécrit $\log u_{n+1} - \log u_n \leq v_n.$ On peut conclure par télescopage car si $u_n \to \infty$ alors $\log u_n \to \infty.$

Bonne journée

dylasse

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Re : nature de série

Merci beaucoup.