Sous-espaces caractéristiques

Vincent62 · 29-09-2022 10:40:34

Bonjour,

J'ai un endormphisme [tex]f[/tex] pour lequel je souhaite déterminer ses sous-espaces caractéristiques.
On note [tex]A[/tex] sa matrice (3x3) associée dans la base canonique.
Pour l'un d'entre-eux, il s'agit de [tex]N_1=\ker(f-\lambda I)^2[/tex]. Par ailleurs, j'ai pu montrer que [tex]\ker(f-\lambda I)=\mathbb{R}v_1[/tex].

Je sais déterminer une base de [tex]N_1[/tex] par le calcul direct, c'est-à-dire en calculant [tex](A-\lambda I)^2[/tex].
Cependant, il est précisé que l'on peut faire autrement, en cherchant à quelles conditions on a [tex](f-\lambda I)(x)\in \ker(f-\lambda I)[/tex] pour un certain vecteur [tex]x\in \mathbb{R^3}[/tex].
Jusque-là, je comprends.

Il s'agit donc de chercher à quelles conditions on a : [tex](f-\lambda I)(x)\in \mathbb{R}v_1[/tex].
Mais voilà, à partir de là, que faut-il comprendre et faire ?
S'agit-il de trouver pour quelles valeurs de t on a [tex](f-\lambda I)(x)=tv_1[/tex] ?

Si besoin, je peux recopier l'énoncé, qui consiste en la donnée d'une matrice A, c'est tout.

Merci pour votre aide !

Dernière modification par Vincent62 (29-09-2022 10:41:08)

Fred · 29-09-2022 20:38:48

Salut,

Pour chercher une base d'un sous-espace caractéristique de dimension 2, si $\lambda$ est la valeur propre associée, on peut procéder dans l'ordre suivant :
1. Chercher un vecteur propre $u$ donc tel que $f(u)=\lambda u$.
2. Chercher un vecteur (non nul) $v$ tel que $f(v)-\lambda v=u$. Alors $v$ n'est pas proportionnelle à $u$
et on vérifie facilement que $(f-\lambda Id)^2(v)=0$.

A+
F.

Vincent62 · 30-09-2022 08:14:43

Bonjour Fred,

Merci beaucoup, c'est très clair.
Cependant, ker(f-id)² est de dimension 2, et en utilisant la méthode ci-dessous, je trouve un vecteur seul.

La matrice que je considère est la suivante :

1,0,1
2,-1,0
1,-1,1/2

Elle admet deux valeurs propres, qui sont 1 (de multiplicité 2) et 3/2 (de multiplicité 1).
J'ai déjà démontré que ker(A-I)=Vec(1,1,0).

En utilisant la méthode proposée ci-dessous, je trouve pour le vecteur v : (2,2/3,1)

Voilà, qu'est-ce qui cloche ?
Merci Fred

Merci Fred

Vincent62 · 30-09-2022 08:30:52

Pardon, je trouve finalement, après résolution du système, que :

x=x
y=x-1/2
z=1

Fred · 30-09-2022 08:47:22

Oui, donc tu as bien deux vecteurs pour le sous-espace caractéristique. Avec mes notations, $u$ et $v$ (je pense que tu as oublié $u$).

F.

Vincent62 · 30-09-2022 10:04:54

Ah mais oui, u appartient également au sous-espace caractéristique !
J'ai donc deux vecteurs u et v qui forment une famille libre dans un espace de dimension 2. Est-ce que ça suffit pour affirmer que ces deux vecteurs forment une base de cet espace ?

Merci Fred

Dernière modification par Vincent62 (30-09-2022 10:10:57)

Vincent62 · 30-09-2022 10:24:06

Je me suis permis de créer des url à partir de mon travail.
Je trouve deux résultats différents.

https://imagizer.imageshack.com/img924/4606/l4BMq1.jpg
https://imagizer.imageshack.com/img924/4230/jmoE1T.jpg

Fred · 30-09-2022 18:47:26

Re-

Tes deux résultats donnent bien le même espace. Il est facile d'exprimer les vecteurs que tu as obtenu dans la première méthode à l'aide des vecteurs que tu as obtenu dans la deuxième méthode (et réciproquement).

F.

Vincent62 · 01-10-2022 11:18:52

Merci Fred,

Je suis complètement rouillé, c'est affligeant.

Merci en tout cas pour ton aide précieuse et pour tes explications constructives et pédagogiques.

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