Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alloirat

Membre

Inscription : 09-09-2022

Messages : 7

limite de fonction sur $R^2$.

Bonjour à tous, j'ai un problème avec l'exercice suivant.  comment on peut faire pour montrer ce résultat et merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : limite de fonction sur $R^2$.

Bonjour,

  D'abord, on note $\ell$ la limite en $0$ de $f(x,0)$ (qui existe en prenant $\varphi(x)=0$).
On va prouver que $f$ admet pour limite $\ell$ en $(0,0)$.

Si ce n'est pas le cas, on peut trouver une suite $(x_n,y_n)$ telle que $f(x_n,y_n)$ ne tend pas vers $\ell$, mais $(x_n,y_n)$ tend vers $(0,0)$.
Quitte à extraire, on peut supposer que la suite $(x_n)$ décroît strictement vers 0.
L'idée est alors de considérer une fonction $\varphi$ telle que $\varphi(x_n)=y_n$ et $\varphi((x_n+x_{n+1})/2)=0$
(on peut construire une telle fonction en la choisissant affine par morceaux).

Et en regardant $f(x_n,\varphi(x_n))$ et $f(z_n,\varphi(z_n))$ où $z_n=(x_n+x_{n+1})/2$, on va obtenir une contradiction!

F.

alloirat

Membre

Inscription : 09-09-2022

Messages : 7

Re : limite de fonction sur $R^2$.

Merci  Fred , mais j'ai pas compris l'utilité de considérer la suite $(x_n)$ décroissante .

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : limite de fonction sur $R^2$.

C'est pour que ce soit plus facile de construire la fonction $\varphi$. Si les $(x_n)$ sont mélangés, il est plus difficile d'identifier les morceaux sur lesquels on la construit de façon affine.

F.

alloirat

Membre

Inscription : 09-09-2022

Messages : 7

Re : limite de fonction sur $R^2$.

Merci