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joq35

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Intégrale double - coordonnées polaires

Bonjour à tous,

Je suis en train de travailler sur les intégrales doubles, avec le changement en coordonnées polaires.

Un exercice de votre site me pose question, l'exercice 8 de la feuille d'exercice suivante :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

On doit calculer le volume entre une fonction et un disque sur le plan (Oxy).
Les points M de ce disque sont tous les points du disque de centre (1,0) et de rayon 1.

Pour passer aux coordonnées polaires, on pose :
x = r * cos (O) et y = r * sin (O)

En passant ces 2 coordonnées de x et y dans l'équation, on obtient :
r >=0 et r <= 2 * cos (O)

Pour que l'inégalité ait un sens, cos (O) doit être positif ou nul, donc O doit être compris entre -Pi/2 et Pi/2.

Ce qui me questionne : l'ensemble D est un disque, on est au final sur un demi-disque ? Qu'est-ce qui nous assure que les 2 intégrales auront la même valeur ? Par exemple, le point A(-1;0) appartenait à D. Pourtant, il n'apparient plus à au demi-disque, n'est-ce pas ?

Merci pour votre éclaircissement.

Fred

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Re : Intégrale double - coordonnées polaires

Bonjour

  Non (-1,0) n'est pas dans le disque initial (attention il n'est pas centré en l'origine).

F.

joq35

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Re : Intégrale double - coordonnées polaires

Oui pardon, effectivement, j'ai été un peu vite. Mais malgré tout, ce qui m'intrigue, c'est qu'on passe d'un disque à un demi-disque. Je sais 'appliquer' la recette pour arriver au résultat. Mais qu'est ce qui nous assure que les 2 intégrales seront égales ?

Fred

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Re : Intégrale double - coordonnées polaires

En fait non, ce n'est pas un demi-disque. Ce n'est pas parce que tu intègres entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ que tu obtiens un demi-disque. Ce serait le cas si on avait $0\leq r\leq a$. Mais là, la valeur maximale de $r$ dépend de $\cos(\theta)$. Si tu regardes ton disque initial,
et si tu prends un point quelconque de ce disque, disons $M$, tu verras bien que l'angle $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$
est compris entre $-\pi/2$ et $\pi/2$.

F.

joq35

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Re : Intégrale double - coordonnées polaires

Ok merci. Effectivement. Désolé pour la question un peu triviale du coup.