Somme de 3 cubes successifs

Omhaf · 27-06-2022 00:10:05

Bonjour mes chers amis,
Après cette absence j'en reviens vers vous pour vous exposer une "trouvaille"

Soit a,b,c nombres entiers successifs

a³+b³+c³= (a+b+c)(b*c- a+1)
il m'arrive de réinventer la roue ou que j'expose une banalité mais franchement je n'y comprends rien
J'attends vos avis merci
@ +

Wiwaxia · 27-06-2022 07:34:51

Bonjour,

Omhaf a écrit :

... / ... j'en reviens vers vous pour vous exposer une "trouvaille"
Soit a,b,c nombres entiers successifs
a³+b³+c³= (a+b+c)(b*c- a+1)
... / ... J'attends vos avis merci ...

Tu parais t'être égaré dans un calcul inachevé, que tu n'as pas mené jusqu'à son terme

Si (a, b, c) représentent (dans l'ordre alphabétique) trois entiers consécutifs, ils doivent vérifier:

a = b - 1 et c = b + 1 ,

et la somme des cubes doit admettre pour expression:

5 = (b - 1)³ + b³ + (b + 1)³ = (b³ - 3b² + 3b - 1) + (b³) + (b³ + 3b² + 3b + 1) ,

soit encore: S = 3b³ + 6b = 3b(b² + 2) .

Bernard-maths · 27-06-2022 08:12:42

Bonjour à tous !

Wiwaxia est un lève-tôt, et il m'a brûlé la po ... ssibilité de répondre de la même manière !

Mais en conclusion je rajouterai : si a=b-1 et c=b+1, alors a+b+c=3b, et b²=b(c-1)=b*c-b=b*c-(a-1)=b*c-a+1 ...

On retrouve donc en fin : 3b(b²+2) = (a+b+c) (b*c-a+1) !

Question pour Omhaf et les curieux : et si a, b et c sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r, que donne a³ + b³ + c³ ?

Vive le calcul, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (27-06-2022 08:21:34)

Wiwaxia · 27-06-2022 10:22:07

Bonjour Bernard-maths,

Bernard-maths a écrit :

Bonjour à tous !
Wiwaxia est un lève-tôt, et il m'a brûlé la po ... ssibilité de répondre de la même manière !
... / ...
Question pour Omhaf et les curieux : et si a, b et c sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r, que donne a³ + b³ + c³ ? ...

Désolé de ce refus involontaire de priorité !

La nouvelle expression de la somme est

S(h) = (b - h)³+ b³ + (b + h)³ = 3b³ + 6bh² = 3b(b² + 2h²) .

On retrouve la réponse précédente pour h = 1 .

Omhaf · 06-07-2022 21:29:37

Bonjour,

J'en reviens à la question de Bernard Maths

soit a³+b³+c³ avec b équidistant entre a et c d'une différence d (raison arithmétique :d)

a³+b³+c³= (a+b+c)( bc-(a+d²))

Exemple :
9³+12³+15³=36x (180-(9+3²))
=5832

A vos plumes ! Merci
@+

Dernière modification par Omhaf (06-07-2022 21:29:58)

yoshi · 07-07-2022 10:17:07

Re,

Oui, mais la formule de Wiwaxia est plus simple tu utilises encore dans ta réponse a, b, c, d.
Lui, seulement 2 : b et d...

@+

Omhaf · 07-07-2022 14:31:20

Bonjour yoshi
heureux de te lire
formule générale (sauf erreur)
soit d raison arithmétique entre a b et c tel que b= a+d et c= b+d
a³+b³+c³= 3b(b²+bd-b+d-d²)

Mais j'avoue après relecture du post de wiwaxia que sa formule est plus simple
@+

Dernière modification par Omhaf (07-07-2022 15:12:07)

yoshi · 07-07-2022 16:03:12

Bonjour,

Bin, tu vois, en posant a = b-r et c =b+r (je l'avais refait ce matin avant de te répondre : j'avais complètement oublié les réponses des sieurs Bernard-math et wiwaxia), on obtient : $a^3+b^3+c^3=3b(b^2+2r^2)$.

Avec a= 9, b = 12 et c= 15, on a r =3 et donc
$9^+12^3+15^3 = 3\times 12\times(12^2+2\times 3^2) = 36 \times (144+18) =36 \times 162 =5832$
Je te refais la démo simple à faire :
Le but du jeu étant d'obtenir la formule la plus ramassée possible, le plus simple (et c'est très "classique" comme méthode !) est de poser :
$a=b-r$ et $c=b+r$
D'où
$\begin{cases}a^3 &= b^3-3b^2r+3br^2-r^3\\b^3&= b^3\\c^3 &=b^3+3b^2r+3br^2+r^3\end{cases}$
J'additionne membre à membre, je simplifie et j'obtiens :
$a^3+b^3+c^3=3b^3+6br^2$
Soit en factorisant :
$a^3+b^3+c^3=3b(b^2+2r^2)$...

Tu passes par a, si j'en crois

soit d raison arithmétique entre a b et c tel que b= a+d et c= b+d

Pas de a dans ta formule, pourquoi ?
Tu fais tes calculs avec a puis tu remplaces a par b-d ?
J'utilise r (et non d ou h) parce que j'ai été conditionné depuis plus de 45 ans à appeler r la raison d'une suite arithmétique (et accessoirement, q celle d'une suite géométrique)

@+

Omhaf · 12-09-2022 00:08:11

Bonjour à tous
Après des mois, je suis revenu à cette discussion et j'ai constaté que c'est vrai nos amis ont donné des équations certes plus simples , mais mon équation demeure distinguée par un fait c'est qu'elle ne contient aucune valeur avec exposant supérieur à 1
cela peut-il signifier quelque chose à votre avis ?
Merci
@+

yoshi · 12-09-2022 09:44:45

Bonjour l'ami,

Là, tu nous dis :

mon équation demeure distinguée par un fait c'est qu'elle ne contient aucune valeur avec exposant supérieur à 1

Pourtant :

Au post #7, Omhaf a écrit :

soit d raison arithmétique entre a b et c tel que b= a+d et c= b+d
a³+b³+c³= 3b(b²+bd-b+d-d²)

Ce qui m'amène à te poser la question : pour toi, $2 \leqslant 1$ ??? ^_^

@+

Omhaf · 12-09-2022 21:07:00

Bonjour yoshi
heureux de te lire,
je pensais à l'équation de mon premier post dans lequel j'ai donné
a³+b³+c³= (a+b+c)(b*c- a+1)
Quant à si 2⩽1 oui ça peut se concevoir sur un plan théologique (le Père est plus important que le fils et le St Esprit Source : Evangiles ) ^_^
@+

Dernière modification par Omhaf (12-09-2022 21:10:26)

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#1 27-06-2022 00:10:05

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Re : Somme de 3 cubes successifs

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