Rayon de convergence

Abirmdr · 07-09-2022 03:10:52

Bonjour ، s'il vous plaît, si on a une série mais elle est pas écrit comme forme de série entière, disons par exemple série de (e^n . x^(n^3)) , comment peut-on calculer son rayon de convergence ?
Merci pour votre aide.

Fred · 07-09-2022 09:34:41

Bonjour,

Il te faut déterminer "à la main" pour quelles valeurs de $x$ la série $\sum_n e^n x^{n^3}$ converge.
Tu dois pouvoir démontrer que pour $|x|<1$, la série converge et pour $|x|>1$, la série diverge.
Ceci te donnera que le rayon de convergence vaut 1.

F.

Abirmdr · 07-09-2022 20:14:28

Bonjour fred , j'ai pas trouvé 1 , j'ai considéré t= x^(n^2) , donc la série devient de exp(n)(t^n) , d'ou le rayon de convergence R est 1/exp(1) .

Zebulor · 07-09-2022 20:50:42

Bonsoir Abirmdr,
avec le changement de variable que tu as effectué, ce rayon que tu as trouvé est celui de la série $\sum_n e^n x^{n}$ et non celui de la série $\sum_n e^n x^{n^3}$

Fred · 07-09-2022 21:35:09

Re-

Pour compléter la réponse de Zebulor, il est totalement interdit de faire un changement de variables du type $t=x^{n^2}$ car l'indice de sommation intervient dans ce changement de variables.

F.

Abirmdr · 11-09-2022 01:42:10

Donc que dois je faire ?
Je suis bloqué sans aucunes idées...

Fred · 11-09-2022 07:21:21

Écris ton terme général comme exp(.....)

Abirmdr · 11-09-2022 14:34:34

Oui je la fait...

Abirmdr · 11-09-2022 14:35:32

Utiliser d'Alembert ou quoi ??

Zebulor · 11-09-2022 18:38:34

bonsoir,
tu as une série à termes positifs dont le terme général est une exponentielle qui soit explose vers l'infini soit plonge vers 0 suivant les valeurs de x.
https://www.bibmath.net/dico/index.php? … emann.html

Dernière modification par Zebulor (11-09-2022 19:01:20)

Fred · 11-09-2022 19:44:23

Ici, tu ne peux pas utiliser le critère de d'Alembert, car les termes ne sont pas consécutifs : tu n'as pas $x^n$, mais $x^{n^3}$.
Tu es obligé de revenir à la définition du rayon de convergence : $R$ est tel que, si $|x|<R$, alors la série $\sum_n e^n x^{n^3}$ converge
et si $|x|>R$, alors $\sum_n e^n x^{n^3}$ diverge.
C'est pour cela que je te dis de déterminer à la main si cette série converge, en l'écrivant sous la forme $\exp(\cdots)$.

F.

Abirmdr · 15-09-2022 15:46:39

Ok merci.

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