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Karine

Invité

Dérivabilité des fonctions définies par morceaux

Salut,

Pour les fonctions définies par morceaux, est ce que pour calculer la dérivée de cette fonction, est ce qu'on doit calculer sa dérivée pour chaque morceaux sans trouver aucun problème ? Et celà reste vrai pour quelque soit la nature des intervalles morceaux ( ouverts ou fermés) ?

Une indication serait bienvenue.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Dérivabilité des fonctions définies par morceaux

Salut,

  Je ne suis pas sûr de comprendre ta question, mais voici ce que je dirais : si tu as une fonction définie d'une certaine façon sur $]a,b]$ et d'une autre façon sur $]b,c[$, et que tu veux démontrer que ta fonction est dérivable sur $[a,c]$, souvent tu peux :
* démontrer qu'elle est dérivable sur $]a,b]$ et calculer la dérivée sur cet intervalle
* démontrer qu'elle est dérivable sur $]b,c]$ et calculer la dérivée sur cet intervalle
* vérifier que les dérivées à gauche et à droite en $b$ coïncident.

Si ça ne répond pas à ta question, il va falloir être plus précise....

F.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

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Messages : 1 913

Re : Dérivabilité des fonctions définies par morceaux

Salut,

Du côté droit de b (en suivant l'exemple de Fred) il faut faire une étude locale de la limite car la fonction dérivée n'est pas en soi définie en b, puisqu'on a dérivé (si c'est faisable en tout cas ) la restriction de f sur un morceau ouvert en b. Tout est possible à droite de b même si f est continue.
Karine peut prendre par exmple sur [-1, 0] la fonction nulle g , et sur ]0,1] la fonction h :   x sin (1/x) qui tend bien vers 0 à droite de 0.
La fonction dérivée en dehors de 0 , sin(1/x) - cos(1/x) / x ne servira pas grand chose dans l'affaire, tandis que le rapport
$(f(h) -f(0))/h = sin(1/h)$ n'a pas de limite en 0...

A mon sens:

- Soit on considère  des morceaux fermés [a,b] et [b,c] , et si tout se passe bien en appelant g et h les restrictions de f il faut montrer que g'(b) = h'(b), en plus de la dérivabilité sur [a,b[ et ]b,c]

- Soit d'un côté un intervalle est pris ouvert, et regarder en revenant à la définition de la dérivée le résultat en b.

Si on sait par avance que h est dérivable de b, on peut avoir cependant sa valeur par continuité de h' calculée sur ]b,c] ( b exclu) car la dérivée est continue si elle est définie en b.

En cas de fonctions non classiques (où la dérivée aux bornes d'intervalles est la plupart du temps avérée et aisément calculable en général) , il faut sans doute prendre à part ( à gauche et à droite)  les points de jonctions en revenant à la définition de la dérivée.

A.

Dernière modification par bridgslam (10-09-2022 07:58:16)