Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Firewalkwithme

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Somme de Riemann

Bonjour,

Je travaille sur un exercice sur lequel j'ai toutes les idées, mais certaines astuces calculatoires (qui doivent être relativement simple, j'en conviens...) m'empêchent de conclure.

La q1 me demande de démontrer pour tout t positif : t - t^2 < ln(1+t) < t (OK)

Q2 : déterminer, avec f continue et positive, la limite du produit de 1 à n de 1 + 1/n f(k/n).
Je passe au logarithme pour avoir la somme des ln(1 + somme de Riemann), que j'encadre avec la Q1 avec la somme de Riemann pour t.
Le côté droit tend bien vers l'intégrale entre 0 et 1, par définition, mais je n'arrive pas à le formaliser pour l'autre côté... Je sens bien qu'il faut utiliser l'identité remarquable, mais je tourne en rond (c'est vraiment purement calculatoire...).

Merci d'avance de votre aide !

Zebulor

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Re : Somme de Riemann

Bonsoir,
j'ai du mal à y voir clair pour ta question 2. Quelle est ta fonction $f$ ?

Firewalkwithme

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Re : Somme de Riemann

L'énoncé dit seulement f : [0,1] --> R+ continue.

Zebulor

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Re : Somme de Riemann

re,
et pour le côté gauche, tu n 'aurais pas un terme qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini ? je ne comprends pas ton idée d'identité remarquable mais je suis peut être un peu fatigué ce soir..

Firewalkwithme

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Re : Somme de Riemann

Re,

Pour l'idr, je voulais parler de t - (t^2)/2 = -1/2 * ((t-1)^2 - 1) par exemple.
Pour le côté gauche, j'applique juste directement celle du dessus avec t = la somme de Riemann... Désolé si ce n'est pas très clair, c'est toujours difficile d'écrire les maths sur clavier :(.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Somme de Riemann

Bonsoir,

c'est toujours difficile d'écrire les maths sur clavier :(.

C'est une évidence pour tous ceux qui ont sauté le pas et utilisent le Code Latex.
Ça tombe bien, ce lien à suivre le permet au prix d'un petit effort ^_^ :
Code LaTeX

       Yoshi
- Modérateur -

Firewalkwithme

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Re : Somme de Riemann

Merci, je peux donc demander de l'aide de façon lisible.

J'ai l'encadrement : [tex]\forall t>0, t-\frac{t^2}{2}<ln(1+t)<t[/tex]
Je veux déterminer : [tex]\lim\limits_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^n (1 + \frac{1}{n} f(\frac{k}{n}))[/tex] avec f définie sur [0,1] à valeurs dans [tex]\mathbb{R}+[/tex] continue.
Comment faire ?

Merci

Fred

Administrateur

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Re : Somme de Riemann

Bonjour

  Pour la partie qui te manque j'ai l'impression que tu as une somme de n termes que tu divisés par n^2. Il suffit que chaque terme de la somme soit bornée....

F.