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Dohakt

Invité

Rayon de convergence/séries entières

Bonjour, s'il vous plaît, supposons qu'on. A une série entière, en calculons son rayon de convergence par la relation lim lAn+1|/lAnl , si la limite obtenue a deux limites , une limite sup et une limite inf , quelle limite doit-on choisir ?
Merci.

Fred

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Re : Rayon de convergence/séries entières

Bonjour,

  Pour les séries entières, on ne peut pas conclure à partir de la règle de d'Alembert si la limite sup et la limite inf sont distinctes. Prends par exemple la série $\sum_n z^{2n}$. Alors la limite inf vaut $0$ et la limite sup vaut $+\infty$, alors que le rayon de convergence fait $1$.

F.

Dohakt

Invité

Re : Rayon de convergence/séries entières

J'ai posé cette question car j'ai un exo dans laquelle ils ont choisi la limite sup , j'ai pas compris pourquoi.
https://drive.google.com/file/d/1SanMQB … p=drivesdk

Fred

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Re : Rayon de convergence/séries entières

Re-

  Ce n'est pas la règle de d'Alembert qui est utilisée dans la correction, c'est la règle de Cauchy,
pour laquelle on considère non pas le quotient $|a_{n+1}|/a_n$, mais $a_n^{1/n}$. Et dans le cas d'une série entière $\sum_n a_n z^n$, son rayon de convergence vaut $\frac 1R=\limsup a_n^{1/n}$.

F.