Triangle à partir des pieds des hauteurs

FFR · 14-08-2022 12:25:05

Bonjour à tous,
Depuis quelques temps j'ai un peu de temps libre et j'ai décidé de m'adonner à la géométrie. Je précise tout de suite que je débute, que je suis un amateur et que cette nouvelle occupation est complètement désintéressée, je ne suis ni étudiant, ni enseignant et ma profession n'a aucun rapport avec cette branche des mathématiques.
J'ai découvert un jeu gratuit qui m'a permis de mettre le pied à l'étrier, il s'agit d'Euclidea disponible sur internet (android et windows). Le jeu se compose de 15 niveaux, chacun comprenant environ une dizaine d'exercices. Chaque exercice propose un problème à résoudre uniquement avec la règle et le compas, l'original est que le nombre maximal d'étapes est fixé. Euclidea contient un petit outil très bien fait permettant de tracer les figures (régle, compas ...). Comme on peut s'en douter les premiers exercices sont simples et se compliquent à mesure qu'on avance.
J'en arrive à ma question (exercice 3 du niveau 12). 3 point A, B, C non alignés sont donnés et il s'agit de construire le triangle I, J K, dont les pieds des hauteurs sont A, B et C. Le nombre maximal d'étapes est 10. J'ai réussi à construire le triangle demandé, mais il m'a fallu plus de 10 étapes. Au bout de quelques jours de recherche, comme je ne trouvai pas la solution , j'ai regardé la réponse sur internet. J'ai réussi à démontrer que la solution proposée permettait bien de définir le triangle demandé, mais je ne suis pas satisfait de ma démonstration qui utilise les coordonnées cartésiennes du plan. Est-ce que quelqu'un pourrait me proposer une solution plus élégante que la mienne.
La figure ci dessous décrit les 10 étapes de la construction.
ShUfMbsaFYb
François.
PS : Si ma question n'est pas dans le bon forum, merci de m'excuser, c'est ma première intervention sur bibm@th.net

FFR · 14-08-2022 12:52:47

J'ai l'impression que mon image ne s'affiche pas, cela devrait aller mieux maintenant:

François.

Bernard-maths · 14-08-2022 17:40:32

Bonjour François !

Bonne arrivée en Géométrie. Je te joins une image (avec Cjoint), où l'on rappelle que dans un triangle ABC, les bissectrices intérieures rouges se coupent en un point O, qui se trouve être le centre du cercle inscrit dans ABC. De plus, si on trace les bissectrices extérieures vertes, et perpendiculaires aux bissectrices intérieures, on montre que chaque bissectrice intérieure (par ex celle issue de A) recoupe les 2 bissectrices extérieures issues des autres sommets (donc celles passant par B et C, qui se recoupent en I) ... !!!

Je te laisse deviner la suite pour l'exercice proposé ... :-)

Ce lien ouvre GeoGebra, il faut être un peu patient :

https://www.cjoint.com/doc/22_08/LHoqNr … -08-14.ggb

Bernard-maths

PS : je n'arrive pas à lire ta figure ... trop petite !

Dernière modification par Bernard-maths (15-08-2022 15:33:51)

FFR · 18-08-2022 13:02:01

Merci beaucoup Bernard,
Pour être certain que j'ai bien utilisé les pistes que tu m'indiquais, voici mon raisonnement (j'utilise les noms des points de ma figure ci-dessus).
On remarque d'abord que par construction AFCD est un parallélogramme, et AC une des diagonales de ce parallélogramme.
Ensuite :
1. Le triangle IBK est rectangle en B car GBH l'est.
BI est la bissectrice intérieure en B du triangle orthique ABC, car :
$\widehat {ABI}=\widehat {FGI}$ par parallélisme de AB et EF
$\widehat {FGI}=\widehat {CGB}$
$\widehat {CGB}=\widehat {GBC}$ car CGB est isocèle en C
donc $\widehat {ABI}=\widehat {GBC}=\widehat {IBC}$
JK et BI sont donc les bissectrices extérieure et intérieure en B du triangle orthique ABC
2. JI est la bissectrice extérieure en A du triangle orthique ABC car $\widehat {JAB} =\widehat {CAF}$

On se retrouve dans la situation que tu décris : sont connus trois bissectrices, la bissectrice intérieure et extérieure en B et la bissectrice extérieure en A. Elles permettent de construite les points I et J.

Et on complète le triangle avec le point K, intersection de IC et BJ.

Bernard-maths · 18-08-2022 13:12:02

Bonjour François !

Eh bien voilà par exemple ! Bien vu.

Du coup, je cogite si on peut étendre ce problème en 3D ... ?
Je ne suis pas sur, mais cela donne quand même des choses intéressantes !
J'en parlerai plus tard, après murissement ...

Bernard-maths

Bernard-maths · 19-08-2022 11:08:28

Bonjour François et cie !

Pour conclure "rapido" :

Si dans un triangle ABC, on trace les bissectrices intérieures et extérieures, chaque bissectrice intérieure d'un sommet recoupe les bissectrices extérieures des 2 autres sommets, et on obtient un triangle IJK. Dans lequel les (droites supports des) hauteurs sont les bissectrices intérieures de ABC, et les (droites supports des) côtés en sont les bissectrices extérieures !

Revenons au problème en 3 étapes : tracer les 3 bissectrices extérieures de ABC, elles se coupent 2 à 2 en formant le triangle IJK, dans lequel A, B et C sont les pieds des hauteurs (de IJK).

A plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (19-08-2022 11:22:52)

FFR · 20-08-2022 13:25:13

Bonjour Bernard,
Tes remarques m'ont aidé à débloquer la situation. Je savais que les hauteurs d'un triangle acutangle étaient les bissectrices de son triangle orthique, mais je n'avais pas vu le rôle joué par les bissectrices extérieures.
Pour moi le sujet peut être clos.
A plus François.

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