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Maxbe

Invité

Théorème de Stokes

Bonjour,

J'aurais besoin que l'on m'aide à comprendre (plus de détail) l'utilisation du théorème de Stokes ici :

On a la fonction [tex]F(z)=\mathbb{E}(\frac{zP'_n(z)}{P_n(z)})[/tex] oú [tex]\mathbb{E}[/tex] représente l'espérance et [tex]P_n(z)[/tex] et polynôme de degré n.

Par le théorème de Stokes, on a :
[tex]\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{1}{z}F(z)=\frac{1}{\pi}\int_{\Omega}\frac{1}{z}\frac{\partial}{\partial\bar{z}}F(z,\bar{z})dxdy[/tex]

Un tout grand merci à celles et ceux qui prendre le temps !

Gui82

Membre

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Messages : 126

Re : Théorème de Stokes

Bonjour,

Je ne comprends pas très bien la définition de ta fonction [tex]F[/tex] car je ne vois pas de variable aléatoire dans ton espérance.
Sinon, par rapport à ta question, je ne sais pas si le théorème de Stokes donne le résultat, mais il y a en analyse complexe (pas forcément en fonctions holomorphes) la formule de Cauchy-Pompeiu qui donne le résultat suivant :
Si [tex]D[/tex] est un ensemble de Jordan dans un ouvert [tex]\Omega \subset \mathbb C[/tex], [tex]a \in  \mathring{D}[/tex] et [tex]f \in \mathcal{C}^1(\Omega)[/tex], on a :
[tex]\displaystyle f(a)= \frac{1}{2\imath\pi}\int_{\partial D}^{}\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z -\frac{1}{\pi} \iint_D \frac{1}{z-a} \frac{\partial f}{\partial \bar z}(z,\bar z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y[/tex]
(On retrouve la formule de Cauchy classique dans le cas holomorphe, car dans ce cas [tex]\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0[/tex])
Dans ton cas, on a [tex]a=0[/tex] et malgré mon incompréhension sur la définition de ta fonction [tex]F[/tex], j'imagine qu'on a [tex]F(0)=0[/tex], d'où le résultat.

Dernière modification par Gui82 (08-08-2022 21:56:12)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Théorème de Stokes

Bonjour,
Maxbe a fait le tour des forums avec sa question, et quand il a eu une réponse il n'a pas réagi.
https://les-mathematiques.net/vanilla/i … -de-stokes

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Théorème de Stokes

RE,

@Michel Coste.
Merci.
Comportement consumériste et sans reconnaissance.
C'est bien dommage...
Si par hasard, il revenait, je lui dirais - en termes polis - ma façon de penser !

@+