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Shl_mx

Invité

Propriétés de la fonction réciproque

Bonsoir ,

Je veux poser une question qui concerne les fonctions réciproques ?
Quelqu'un peut me dire quel sont toutes les propriétés conservés par le passage d'une fonction à sa fonction réciproque ?
Est-ce-qu'il y'a des astuces qui lit une fonction de sa fonction réciproque ?

Merci.

Fred

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Re : Propriétés de la fonction réciproque

Bonsoir,

  J'imagine que tu veux parler des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ et de leur réciproque.
Pour répondre à ta question, la principale "astuce" qui lie une fonction à sa réciproque est la suivante : les courbes représentatives de
$f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Plus formellement, les propriétés suivantes sont conservées par passage d'une fonction à sa réciproque :
* la monotonie : si $f$ est croissante, alors $f^{-1}$ est croissante
* la régularité : si $f$ est continue, alors $f^{-1}$ est continue; si $f$ est dérivable et si $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}$ est dérivable....

F.

Zebulor

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Re : Propriétés de la fonction réciproque

Bonsoir,
spontanément j'en vois une : la bijectivité..

Grillé par Fred .. et pour préciser son post sur la monotonie : c'est la stricte monotonie équivalente de la bijectivité

Dernière modification par Zebulor (02-08-2022 20:57:08)

Shl_mx

Invité

Re : Propriétés de la fonction réciproque

Et pour les limites ?

Shl_mx

Invité

Re : Propriétés de la fonction réciproque

Et si f est de classe C infini, est ce qu'on peut dire que f-a est aussi Cinfini ?

Zebulor

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Re : Propriétés de la fonction réciproque

re,
erreur de manip : j'écrivais qu'une fonction et sa réciproque n'ont pas forcément même limite en l infini s'agissant de fonctions de $\mathbb R$ dans lui même.
Je pensais à la fonction tangente définie sur une partie de R seulement : $[0;\frac {\pi}{2}]$

EDIT : en y réfléchissant un peu plus : une fonction définie de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ est telle que sa réciproque a aussi pour limite $+\infty$ en $+\infty$..
Par contre s'il s'agit de limite en un point, $f$ et sa réciproque n'ont pas nécessairement la même limite en ce point.

Bref il est temps que je me repose.

Dernière modification par Zebulor (02-08-2022 21:21:53)

Fred

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Re : Propriétés de la fonction réciproque

Et si f est de classe C infini, est ce qu'on peut dire que f-a est aussi Cinfini ?

Oui!